Todo espaço vetorial tem dimensão finita? Justifique ou dê um contraexemplo.

Passo 1

O enunciado pergunta se todo espaço vetorial possui dimensão finita ou se existem espaços de dimensão infinita. O conteúdo é teoria de dimensão de espaços vetoriais: base, independência linear e geradores. Para resolver, vamos definir o que é dimensão finita e, em seguida, apresentar um exemplo de espaço vetorial que não admite base com número finito de vetores.

Passo 2

Definimos dimensão de um espaço vetorial V sobre um corpo F como o número de vetores em uma base de V. Se existe uma base formada por n vetores, dizemos que dim V = n e que V é de dimensão finita. Se não existe nenhuma base finita—isto é, toda base tem infinitos vetores—então dim V é infinita e dizemos que V é de dimensão infinita.

Passo 3

Como contraexemplo, consideremos o espaço P( R) de todos os polinômios com coeficientes reais. Observe o conjunto
B = 1,,x,,x^2,,x^3,,dots
Esse conjunto gera P( R) porque todo polinômio p(x) pode ser escrito como combinação linear finita de monômios 1,x,x^2,dots,x^n.

Passo 4

Mostramos que B é linearmente independente. Suponha que exista uma combinação finita
a0cdot1 + a1 x + a2 x^2 + cdots + aN x^N = 0 para todo xin R
Então o polinômio à esquerda é o polinômio nulo, o que só ocorre se todos os coeficientes a0,a1,dots,aN forem zero. Logo B é linearmente independente e tem infinitos vetores.

Passo 5

Como existe um conjunto gerador infinito e independentes em P( R), não há como encontrar uma base finita. Portanto dim P( R) é infinita.

Resposta

Não. Um contraexemplo é o espaço P( R) dos polinômios reais, que possui uma base infinita 1,x,x^2,dots e, portanto, dimensão infinita.

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