Todo espaço vetorial tem dimensão finita? Justifique ou dê um contraexemplo.
Passo 1
O enunciado pergunta se todo espaço vetorial possui dimensão finita ou se existem espaços de dimensão infinita. O conteúdo é teoria de dimensão de espaços vetoriais: base, independência linear e geradores. Para resolver, vamos definir o que é dimensão finita e, em seguida, apresentar um exemplo de espaço vetorial que não admite base com número finito de vetores.
Passo 2
Definimos dimensão de um espaço vetorial
sobre um corpo
como o número de vetores em uma base de
. Se existe uma base formada por
vetores, dizemos que
e que
é de dimensão finita. Se não existe nenhuma base finita—isto é, toda base tem infinitos vetores—então
é infinita e dizemos que
é de dimensão infinita.
Passo 3
Como contraexemplo, consideremos o espaço
de todos os polinômios com coeficientes reais. Observe o conjunto
Esse conjunto gera
porque todo polinômio
pode ser escrito como combinação linear finita de monômios
.
Passo 4
Mostramos que
é linearmente independente. Suponha que exista uma combinação finita
Então o polinômio à esquerda é o polinômio nulo, o que só ocorre se todos os coeficientes
forem zero. Logo
é linearmente independente e tem infinitos vetores.
Passo 5
Como existe um conjunto gerador infinito e independentes em
, não há como encontrar uma base finita. Portanto
é infinita.
Resposta
Não. Um contraexemplo é o espaço
dos polinômios reais, que possui uma base infinita
e, portanto, dimensão infinita.