Verifique se o conjunto dos números reais R, com as operações de adição a oplus b=a+b+1 e multiplicação por escalar alpha odot a=alpha a+(alpha-1), forma um espaço vetorial sobre R. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define em V=R a “adição”
aoplus b = a + b + 1
e a “multiplicação por escalar”
alphaodot a = alpha,a + (alpha-1)
Para verificar se (V,oplus,odot) é espaço vetorial sobre R precisamos checar:
1. (V,oplus) é grupo abeliano (fechamento, associatividade, elemento neutro, inversos e comutatividade).
2. As propriedades de multiplicação escalar:
a) 1odot a = a.
b) alphaodot(betaodot a) = (alphabeta)odot a.
c) alphaodot(aoplus b)=alphaodot a;oplus;alphaodot b.
d) (alpha+beta)odot a = alphaodot a;oplus;betaodot a.

Passo 2

(Fechamento, associatividade e comutatividade de oplus)
Para quaisquer a,b,cinR temos
(aoplus b)oplus c = (a+b+1)oplus c = a+b+1 + c +1 = a+b+c+2
e
aoplus(boplus c) = aoplus(b+c+1) = a + (b+c+1) +1 = a+b+c+2,
logo oplus é associativa. Também
aoplus b = a+b+1 = b+a+1 = boplus a,
então oplus é comutativa.

Passo 3

(Elemento neutro e inversos de oplus)
Buscamos e tal que aoplus e = a.
aoplus e = a + e + 1 = a implies e = -1
Verifica-se também eoplus a=-1+a+1=a.
Para o inverso de a basta achar b com aoplus b = e = -1:
a + b + 1 = -1 implies b = -a - 2
Assim todo a tem inverso em V, e (V,oplus) é grupo abeliano.

Passo 4

(Propriedades de unidade e compatibilidade escalar)
1) 1odot a = 1cdot a + (1-1) = a 2)
alphaodot(betaodot a) = alphaodotl(beta a +(beta-1)r) = alpha(beta a +beta-1)+(alpha-1) = alphabeta a +alphabeta -alpha +alpha -1 = alphabeta a +(alphabeta -1) = (alphabeta)odot a

Passo 5

(Distributividade escalar)
a)
alphaodot(aoplus b) = alpha(a+b+1)+(alpha-1) = alpha a +alpha b +alpha +alpha -1 = alpha a +alpha b +(2alpha -1),
enquanto
alphaodot a;oplus;alphaodot b = l(alpha a+(alpha-1)r) oplusl(alpha b+(alpha-1)r) = alpha a +alpha -1 +alpha b +alpha -1 +1 = alpha a +alpha b +(2alpha -1)
b)
(alpha+beta)odot a = (alpha+beta)a +(alpha+beta -1) = alpha a +beta a +(alpha+beta -1),
e
alphaodot a;oplus;betaodot a = alpha a +alpha -1 +beta a +beta -1 +1 = alpha a +beta a +(alpha+beta -1)
Portanto as duas distributividades valem.

Resposta

Sim. Todas as propriedades de espaço vetorial sobre R são satisfeitas por l(R,oplus,odotr).

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