Verifique se o conjunto dos números reais
, com as operações de adição
e multiplicação por escalar
, forma um espaço vetorial sobre
. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado define em
a “adição”
e a “multiplicação por escalar”
Para verificar se
é espaço vetorial sobre
precisamos checar:
.
é grupo abeliano (fechamento, associatividade, elemento neutro, inversos e comutatividade).
. As propriedades de multiplicação escalar:
a) .
b) .
c) .
d) .
a)
b)
c)
d)
Passo 2
(Fechamento, associatividade e comutatividade de
)
Para quaisquer temos
Para quaisquer
e
logo
é associativa. Também
então
é comutativa.
Passo 3
(Elemento neutro e inversos de
)
Buscamos tal que
.
Buscamos
Verifica-se também
.
Para o inverso de basta achar
com
:
Para o inverso de
Assim todo
tem inverso em
, e
é grupo abeliano.
Passo 4
(Propriedades de unidade e compatibilidade escalar)
)
)
Passo 5
(Distributividade escalar)
a)
a)
enquanto
b)
e
Portanto as duas distributividades valem.
Resposta
Sim. Todas as propriedades de espaço vetorial sobre
são satisfeitas por
.