Dado que beta=(1,2),(3,4) é uma base de R^2, encontre as coordenadas do vetor (5,6) em relação a beta.

Passo 1

O enunciado diz que beta = (1,2),(3,4) é uma base de R^2 e pede para encontrar as coordenadas de (5,6) em relação a beta. O conteúdo aqui é representação de vetores em uma base e vamos precisar escrever (5,6) como combinação linear dos vetores de beta e resolver o sistema de equações resultante.

Passo 2

Escrevemos
(5,6) = a,(1,2) + b,(3,4)
Isso equivale ao sistema
a + 3b = 5, 2a + 4b = 6

Passo 3

Multiplicamos a primeira equação por 2:
2a + 6b = 10
Subtraindo a segunda equação 2a + 4b = 6 dessa, obtemos
2b = 4 implies b = 2

Passo 4

Substituímos b = 2 em a + 3b = 5:
a + 3cdot2 = 5 implies a + 6 = 5 implies a = -1

Resposta

As coordenadas de (5,6) na base beta são
(-1,2)

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