Em qual estado de spin, singlete ou triplete, dois elétrons têm maior probabilidade de serem encontrados próximos um ao outro? Indique o estado e explique o motivo. ( 1,0 ponto)

Passo 1

O enunciado pergunta: “Em qual estado de spin, singlete ou triplete, dois elétrons têm maior probabilidade de serem encontrados próximos um ao outro?”
Informações relevantes que o enunciado dá (implícitas pela física de elétrons):
  • Dois elétrons são férmions de spin 1/2.
  • A função de onda total dos dois elétrons deve ser antissimétrica sob troca dos dois elétrons (princípio de Pauli).
  • “Próximos um ao outro” significa que as coordenadas espaciais dos elétrons \mathbf r_1 e \mathbf r_2 estão próximas, em particular consideramos o caso limite \mathbf r_1=\mathbf r_2 para entender a probabilidade de coincidência espacial.

Passo 2

Relembrando estruturas de função de onda para partículas com spin: a função de onda total dos dois elétrons pode ser escrita como produto de uma parte espacial e uma parte de spin:
\Psi(1,2)=\psi(\mathbf r_1,\mathbf r_2)\,\chi(s_1,s_2),
onde \psi(\mathbf r_1,\mathbf r_2) é a função espacial (dependendo das posições) e \chi(s_1,s_2) é a função de spin (dependendo dos spins). O índice 1 representa o elétron 1 (posição \mathbf r_1 e spin s_1) e o índice 2 o elétron 2.

Passo 3

Princípio de Pauli para férmions: a função de onda total deve trocar de sinal quando trocamos as partículas:
\Psi(2,1)=-\Psi(1,2).
Isso implica que se a parte de spin é simétrica sob troca, a parte espacial deve ser antissimétrica; e se a parte de spin é antissimétrica, a parte espacial deve ser simétrica. Em símbolos:
  • Se \chi é simétrica então \psi deve satisfazer \psi(\mathbf r_2,\mathbf r_1)=-\psi(\mathbf r_1,\mathbf r_2) (antissimétrica).
  • Se \chi é antissimétrica então \psi deve satisfazer \psi(\mathbf r_2,\mathbf r_1)=\psi(\mathbf r_1,\mathbf r_2) (simétrica).

Passo 4

Características dos estados de spin singlete e triplete:
  • Estado singlete: é antissimétrico em spin. Em notação usual,
\chi_{\text{sing}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\big(\uparrow\downarrow-\downarrow\uparrow\big),
que satisfaz \chi_{\text{sing}}(2,1)=-\chi_{\text{sing}}(1,2).
  • Estados tríplice: são simétricos em spin. Um deles é, por exemplo,
\chi_{\text{trip}}^{0}=\frac{1}{\sqrt{2}}\big(\uparrow\downarrow+\downarrow\uparrow\big),
além dos \uparrow\uparrow e \downarrow\downarrow, e satisfazem \chi_{\text{trip}}(2,1)=\chi_{\text{trip}}(1,2).

Passo 5

Consequência imediata para a parte espacial:
  • Para o singlete (spin antissimétrico) a parte espacial \psi deve ser simétrica: \psi(\mathbf r_1,\mathbf r_2)=\psi(\mathbf r_2,\mathbf r_1). Uma função espacial simétrica pode ter valor não nulo quando \mathbf r_1=\mathbf r_2.
  • Para o triplete (spin simétrico) a parte espacial \psi deve ser antissimétrica: \psi(\mathbf r_1,\mathbf r_2)=-\psi(\mathbf r_2,\mathbf r_1). Tomando \mathbf r_1=\mathbf r_2=\mathbf r obtemos
\psi(\mathbf r,\mathbf r)=-\psi(\mathbf r,\mathbf r)\quad\Rightarrow\quad \psi(\mathbf r,\mathbf r)=0.
Portanto, para um estado espacial antissimétrico a amplitude de encontrar os dois elétrons na mesma posição é zero.

Passo 6

Conexão com probabilidade: a densidade de probabilidade de encontrar o elétron 1 em \mathbf r_1 e o elétron 2 em \mathbf r_2 é
P(\mathbf r_1,\mathbf r_2)=\big|\psi(\mathbf r_1,\mathbf r_2)\big|^2.
  • No singlete, como \psi é simétrica, em geral \big|\psi(\mathbf r,\mathbf r)\big|^2\neq 0: há probabilidade positiva de os dois elétrons estarem muito próximos ou coincidentes.
  • No triplete, \psi(\mathbf r,\mathbf r)=0 implica \big|\psi(\mathbf r,\mathbf r)\big|^2=0: a probabilidade de coincidência espacial é nula — os elétrons evitam ocupar exatamente o mesmo ponto (efeito do chamado “buraco de troca” ou exchange hole).

Passo 7

Exemplo concreto (muito didático): suponha dois orbitais ortonormais \phi_a(\mathbf r) e \phi_b(\mathbf r). Constrói-se:
\psi_{\text{S}}(\mathbf r_1,\mathbf r_2)=\frac{1}{\sqrt{2}}\big[\phi_a(\mathbf r_1)\phi_b(\mathbf r_2)+\phi_b(\mathbf r_1)\phi_a(\mathbf r_2)\big]
(esta é simétrica) e
\psi_{\text{A}}(\mathbf r_1,\mathbf r_2)=\frac{1}{\sqrt{2}}\big[\phi_a(\mathbf r_1)\phi_b(\mathbf r_2)-\phi_b(\mathbf r_1)\phi_a(\mathbf r_2)\big]
(esta é antissimétrica). Avaliando em \mathbf r_1=\mathbf r_2=\mathbf r:
\psi_{\text{A}}(\mathbf r,\mathbf r)=\frac{1}{\sqrt{2}}\big[\phi_a(\mathbf r)\phi_b(\mathbf r)-\phi_b(\mathbf r)\phi_a(\mathbf r)\big]=0,
enquanto
\psi_{\text{S}}(\mathbf r,\mathbf r)=\sqrt{2}\,\phi_a(\mathbf r)\phi_b(\mathbf r),
que geralmente é diferente de zero. Isso ilustra explicitamente que a probabilidade de coincidência espacial é maior (não nula) para a parte espacial simétrica, i.e., para o singlete.

Passo 8

Interpretação física e motivação intuitiva (sem pular etapas): o que acontece é que a exigência de antissimetria total força uma correlação entre spin e posição. No estado singlete os spins estão “emrolados” de modo antissimétrico, então a função espacial fica simétrica e os elétrons podem se aproximar mais (maior sobreposição espacial). No tríplice os spins são simétricos, a parte espacial tem que ser antissimétrica e impõe um nó quando as posições coincidem — isso reduz fortemente a probabilidade de encontrá-los muito próximos. Isso não contradiz o fato de que a repulsão coulombiana tenta afastar cargas iguais: a antissimetria espacial (triplete) já reduz sobreposição e assim reduz energia de repulsão em muitos casos; mas a pergunta só pede sobre a probabilidade de estarem próximos — aí a resposta é direta pelo argumento do nó em \psi(\mathbf r,\mathbf r).

Resposta

Singlete — porque no estado singlete a parte espacial da função de onda é simétrica e pode ser não nula em \mathbf r_1=\mathbf r_2, enquanto no tríplice a parte espacial é antissimétrica e satisfaz \psi(\mathbf r,\mathbf r)=0, anulando a probabilidade de coincidência espacial.

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