Uma aleta triangular (
) tem base
e comprimento
. Compare sua eficiência com uma aleta retangular de mesma base e comprimento, sob
. Qual delas oferece melhor relação “calor dissipado por massa”?
Passo 1
O enunciado pede para comparar uma aleta triangular com uma aleta retangular, ambas do mesmo material e com mesma base e comprimento, sujeitas a convecção com coeficiente
. Os dados fornecidos são:
- condutividade térmica:
; - espessura (base) da aleta:
; - comprimento da aleta:
; - coeficiente de convecção:
.
As perguntas implícitas são:
- Qual a eficiência térmica de cada aleta (triangular e retangular) sob essas condições?
- Qual delas oferece melhor relação “calor dissipado por massa” (ou seja,
)?
Observação prática que vou usar: como nenhuma largura (profundidade no plano da aleta) foi dada, resolvo por unidade de largura (unidade em
na direção perpendicular ao plano do desenho). Assim massa e calor serão calculados por unidade de largura; a comparação relativa não precisa da densidade se formos comparar razões.
Passo 2
Conceitos e equações principais (aula curta, passo a passo):
- Definição de temperatura excessiva local:
, onde é a temperatura do fluido ambiente e é a temperatura na base. - Equação diferencial geral da aleta (1D, transferência de calor lateral por convecção) para área transversal variável
e perímetro molhado :
- Para aletas finas tendo as duas faces expostas ao fluido e largura unitária, o perímetro molhado é
(duas faces com largura unitária). Para a aleta retangular . Para a aleta triangular, varia linearmente de em até em ; escrevemos . - A eficiência da aleta é definida por
onde
é a área de troca por convecção (para uma aleta fina por unidade de largura, aproximadamente
— duas faces de comprimento
e largura unitária). Essa definição mede que fração do calor “teoricamente possível” (se toda a área estivesse à temperatura da base) a aleta realmente transfere.
- Para a comparação da relação calor por massa usaremos
(potência por unidade de largura para por unidade de largura) e a massa por unidade de largura . A densidade será a mesma para as duas aletas e, ao comparar razões relativas, ela se cancela.
Passo 3
Análise da aleta retangular (caso simples, área e perímetro constantes).
- Para área constante
e define-se
- Com os números:
Calcula-se
- Produto adimensional
:
- Aproximação comum: tomar a ponta como praticamente isolada (ou seja, convecção de ponta pequena comparada à convecção das faces). Para esse caso a solução clássica dá a taxa de calor total por unidade de largura:
- Calculemos o prefator:
-
. - Logo
- Área de troca por convecção (duas faces, por unidade de largura) aproximadamente
(por unidade de largura). Então a eficiência da aleta retangular é
Passo 4
Análise da aleta triangular (área transversal linear decrescente).
- Para aleta triangular por unidade de largura temos
. Mantemos aproximadamente constante (duas faces), e escrevemos a equação em variável adimensional (assim na base e na ponta). Definindo com , a equação transforma-se em
onde
.
- A solução geral dessa equação, conhecida na literatura de aletas com área linear, é em termos das funções de Bessel modificadas de ordem zero e um:
Para
(ponta) a função
diverge, portanto a solução física finita exige
. Impõe-se
, daí
- O fluxo na base pode ser obtido de forma elegante integrando a equação diferencial; chega-se à expressão fechada
(Se quiser: essa expressão resulta de transformar a integral
usando a substituição
e identidade
.)
- Vamos calcular
com os mesmos dados:
logo
. Note que
do caso retangular (consistência numérica).
- Calculamos as funções de Bessel necessárias para
: -
, -
.
-
- Assim o fator do colchete vale
- E como
(por unidade de largura),
- A eficiência da aleta triangular (mesma área de superfície aproximada
) é
Passo 5
Comparação numérica das eficiências e interpretação:
- Eficiência retangular:
. - Eficiência triangular:
.
Portanto, em termos de eficiência (fração do calor máximo possível dado a área de superfície), a aleta retangular é um pouco melhor que a triangular sob as condições dadas.
Passo 6
Calor dissipado por massa (Q/m).
- Volume por unidade de largura:
- retangular:
. - triangular:
(metade do retangular).
- retangular:
- Massa por unidade de largura:
. Como o material é o mesmo, cancela ao comparar razões. - Calor por massa (por unidade de largura e por unidade de
): -
. -
.
-
- A razão entre as duas (triangular sobre retangular) simplifica bastante:
- Conclusão: a aleta triangular fornece cerca de
vezes mais calor dissipado por massa do que a aleta retangular (ou seja, quase o dobro), apesar de transferir um pouco menos de calor absoluto por aleta; isso acontece porque a aleta triangular tem metade da massa e a perda de desempenho em não é proporcional à perda de massa.
Passo 7
Interpretação física e observação prática:
- A aleta retangular é mais eficiente em aproveitar a área de superfície (maior
), porque mantém maior área de seção e, portanto, maior condução interna do calor até regiões distantes da base. - A aleta triangular tem menor massa (metade) e perde pouco em
absoluto; por isso a relação favorece fortemente a forma triangular — útil quando o objetivo é maximizar dissipação por unidade de massa (por exemplo, em aplicações onde peso é crítico). - Nota sobre aproximações: usei a aproximação de ponta praticamente isolada no caso retangular (comportamento real de ponta convectiva teria efeito pequeno no resultado) e tratei perímetro molhado
por unidade de largura. Esses pressupostos são válidos para aletas “finas” (espessura pequena comparada ao comprimento), como aqui.
Resposta
Eficiência da aleta retangular
.
Eficiência da aleta triangular .
A melhor relação “calor dissipado por massa” é da aleta triangular (aproximadamente vezes a relação
da aleta retangular).
Eficiência da aleta triangular
A melhor relação “calor dissipado por massa” é da aleta triangular (aproximadamente