Uma aleta triangular ( \mathrm{k}=160 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) tem base \mathrm{t}=6 \mathrm{~mm} e comprimento \mathrm{L}=40 \mathrm{~mm}. Compare sua eficiência com uma aleta retangular de mesma base e comprimento, sob \mathrm{h}=150 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}. Qual delas oferece melhor relação “calor dissipado por massa”?

Passo 1

O enunciado pede para comparar uma aleta triangular com uma aleta retangular, ambas do mesmo material e com mesma base e comprimento, sujeitas a convecção com coeficiente h=150\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}. Os dados fornecidos são:
  • condutividade térmica: k=160\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K};
  • espessura (base) da aleta: t=6\\ \mathrm{mm}=0,006\\ \mathrm{m};
  • comprimento da aleta: L=40\\ \mathrm{mm}=0,04\\ \mathrm{m};
  • coeficiente de convecção: h=150\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}.
As perguntas implícitas são:
  1. Qual a eficiência térmica de cada aleta (triangular e retangular) sob essas condições?
  2. Qual delas oferece melhor relação “calor dissipado por massa” (ou seja, Q/m)?
Observação prática que vou usar: como nenhuma largura (profundidade no plano da aleta) foi dada, resolvo por unidade de largura (unidade em 1\\ \mathrm{m} na direção perpendicular ao plano do desenho). Assim massa e calor serão calculados por unidade de largura; a comparação relativa não precisa da densidade se formos comparar razões.

Passo 2

Conceitos e equações principais (aula curta, passo a passo):
  • Definição de temperatura excessiva local: \theta(x)=T(x)-T_\infty, onde T_\infty é a temperatura do fluido ambiente e T(0)=T_b é a temperatura na base.
  • Equação diferencial geral da aleta (1D, transferência de calor lateral por convecção) para área transversal variável A(x) e perímetro molhado P(x):
\frac{d}{dx}\!\bigl(kA(x)\frac{d\theta}{dx}\bigr)-hP(x)\theta=0.
  • Para aletas finas tendo as duas faces expostas ao fluido e largura unitária, o perímetro molhado é P(x)=2 (duas faces com largura unitária). Para a aleta retangular A(x)=A_0=t\cdot 1=t. Para a aleta triangular, A(x) varia linearmente de A_0=t em x=0 até 0 em x=L; escrevemos A(x)=t\left(1-\dfrac{x}{L}\right).
  • A eficiência da aleta é definida por
\eta=\frac{Q}{hA_s(T_b-T_\infty)},
onde A_s é a área de troca por convecção (para uma aleta fina por unidade de largura, aproximadamente A_s\approx 2L — duas faces de comprimento L e largura unitária). Essa definição mede que fração do calor “teoricamente possível” (se toda a área estivesse à temperatura da base) a aleta realmente transfere.
  • Para a comparação da relação calor por massa usaremos Q (potência por unidade de largura para \Delta T=T_b-T_\infty por unidade de largura) e a massa por unidade de largura m=\rho\cdot \text{(volume por unidade de largura)}. A densidade \rho será a mesma para as duas aletas e, ao comparar razões relativas, ela se cancela.

Passo 3

Análise da aleta retangular (caso simples, área e perímetro constantes).
  • Para área constante A=t e P=2 define-se
m=\sqrt{\frac{hP}{kA}}.
  • Com os números:
A=t=0,006\\ \mathrm{m}^2\\ (\text{por unidade de largura}),\quad P=2,\quad h=150,\quad k=160.
Calcula-se
m=\sqrt{\frac{150\cdot 2}{160\cdot 0,006}}=\sqrt{312{,}5}\approx 17{,}677\\ \mathrm{m}^{-1}.
  • Produto adimensional mL:
mL=17{,}677\times 0,04\approx 0{,}7071.
  • Aproximação comum: tomar a ponta como praticamente isolada (ou seja, convecção de ponta pequena comparada à convecção das faces). Para esse caso a solução clássica dá a taxa de calor total por unidade de largura:
Q_{\text{ret}}=\sqrt{hPkA}\,\operatorname{tanh}(mL)\,(T_b-T_\infty).
  • Calculemos o prefator:
\sqrt{hPkA}=\sqrt{150\cdot 2\cdot 160\cdot 0,006}=\sqrt{288}\approx 16{,}9706\\ \mathrm{W/K}.
  • \operatorname{tanh}(mL)=\operatorname{tanh}(0{,}7071)\approx 0{,}608.
  • Logo
Q_{\text{ret}}\approx 16{,}9706\times 0{,}608\,(T_b-T_\infty)\approx 10{,}32\,(T_b-T_\infty)\\ \mathrm{W\\ per\\ unit\\ width}.
  • Área de troca por convecção (duas faces, por unidade de largura) aproximadamente A_s=2L=2\times 0,04=0,08\\ \mathrm{m}^2 (por unidade de largura). Então a eficiência da aleta retangular é
\eta_{\text{ret}}=\frac{Q_{\text{ret}}}{hA_s(T_b-T_\infty)}=\frac{10{,}32}{150\cdot 0,08}\approx\frac{10{,}32}{12}=0{,}86.

Passo 4

Análise da aleta triangular (área transversal linear decrescente).
  • Para aleta triangular por unidade de largura temos A(x)=t\left(1-\dfrac{x}{L}\right). Mantemos P=2 aproximadamente constante (duas faces), e escrevemos a equação em variável adimensional s=1-\dfrac{x}{L} (assim s=1 na base e s=0 na ponta). Definindo \lambda^2=\dfrac{hP L^2}{kA_0} com A_0=t, a equação transforma-se em
\frac{d}{ds}\!\bigl(s\,\theta_s\bigr)-\lambda^{2}\theta=0,
onde \theta_s=\dfrac{d\theta}{ds}.
  • A solução geral dessa equação, conhecida na literatura de aletas com área linear, é em termos das funções de Bessel modificadas de ordem zero e um:
\theta(s)=C_1 I_0\!\bigl(2\lambda\sqrt{s}\bigr)+C_2 K_0\!\bigl(2\lambda\sqrt{s}\bigr).
Para s\to 0 (ponta) a função K_0 diverge, portanto a solução física finita exige C_2=0. Impõe-se \theta(1)=\theta_b=(T_b-T_\infty), daí
\theta(s)=\theta_b\frac{I_0\!\bigl(2\lambda\sqrt{s}\bigr)}{I_0(2\lambda)}.
  • O fluxo na base pode ser obtido de forma elegante integrando a equação diferencial; chega-se à expressão fechada
Q_{\text{tri}}=hPL\,(T_b-T_\infty)\,\frac{I_1(2\lambda)}{\lambda I_0(2\lambda)}.
(Se quiser: essa expressão resulta de transformar a integral \int_0^1 \theta(s)\,ds usando a substituição u=2\lambda\sqrt{s} e identidade \int uI_0(u)\,du = uI_1(u).)
  • Vamos calcular \lambda com os mesmos dados:
\lambda^{2}=\frac{hP L^{2}}{kA_0}=\frac{150\cdot 2\cdot 0,04^{2}}{160\cdot 0,006}=\frac{0{,}48}{0{,}96}=0{,}5,
logo \lambda=\sqrt{0{,}5}\approx 0{,}7071. Note que \lambda=mL do caso retangular (consistência numérica).
  • Calculamos as funções de Bessel necessárias para 2\lambda=1{,}4142:
    • I_0(1{,}4142)\approx 1{,}5661,
    • I_1(1{,}4142)\approx 0{,}8992.
  • Assim o fator do colchete vale
\frac{I_1(2\lambda)}{\lambda I_0(2\lambda)}\approx\frac{0{,}8992}{0{,}7071\times 1{,}5661}\approx 0{,}8124.
  • E como hPL=150\cdot 2\cdot 0,04=12\\ \mathrm{W/K} (por unidade de largura),
Q_{\text{tri}}\approx 12\times 0{,}8124\,(T_b-T_\infty)\approx 9{,}749\,(T_b-T_\infty)\\ \mathrm{W\\ per\\ unit\\ width}.
  • A eficiência da aleta triangular (mesma área de superfície aproximada A_s\approx 2L) é
\eta_{\text{tri}}=\frac{Q_{\text{tri}}}{hA_s(T_b-T_\infty)}=\frac{9{,}749}{150\cdot 0,08}\approx\frac{9{,}749}{12}=0{,}8124.

Passo 5

Comparação numérica das eficiências e interpretação:
  • Eficiência retangular: \eta_{\text{ret}}\approx 0{,}86.
  • Eficiência triangular: \eta_{\text{tri}}\approx 0{,}812.
Portanto, em termos de eficiência (fração do calor máximo possível dado a área de superfície), a aleta retangular é um pouco melhor que a triangular sob as condições dadas.

Passo 6

Calor dissipado por massa (Q/m).
  • Volume por unidade de largura:
    • retangular: V_{\text{ret}}=t\cdot L=0,006\times0,04=0,00024\\ \mathrm{m}^3.
    • triangular: V_{\text{tri}}=\tfrac{1}{2}t\cdot L=0,00012\\ \mathrm{m}^3 (metade do retangular).
  • Massa por unidade de largura: m=\rho V. Como o material é o mesmo, \rho cancela ao comparar razões.
  • Calor por massa (por unidade de largura e por unidade de \Delta T=T_b-T_\infty):
    • \dfrac{Q_{\text{ret}}}{m_{\text{ret}}}=\dfrac{10{,}32}{\rho\cdot 0,00024}\,(T_b-T_\infty).
    • \dfrac{Q_{\text{tri}}}{m_{\text{tri}}}=\dfrac{9{,}749}{\rho\cdot 0,00012}\,(T_b-T_\infty).
  • A razão entre as duas (triangular sobre retangular) simplifica bastante:
\frac{(Q/m)_{\text{tri}}}{(Q/m)_{\text{ret}}}= \frac{9{,}749/(0{,}00012)}{10{,}32/(0{,}00024)}=\frac{9{,}749}{10{,}32}\times\frac{0{,}00024}{0{,}00012} =2\cdot\frac{9{,}749}{10{,}32}\approx 1{,}89.
  • Conclusão: a aleta triangular fornece cerca de 1{,}89 vezes mais calor dissipado por massa do que a aleta retangular (ou seja, quase o dobro), apesar de transferir um pouco menos de calor absoluto por aleta; isso acontece porque a aleta triangular tem metade da massa e a perda de desempenho em Q não é proporcional à perda de massa.

Passo 7

Interpretação física e observação prática:
  • A aleta retangular é mais eficiente em aproveitar a área de superfície (maior \eta), porque mantém maior área de seção e, portanto, maior condução interna do calor até regiões distantes da base.
  • A aleta triangular tem menor massa (metade) e perde pouco em Q absoluto; por isso a relação Q/m favorece fortemente a forma triangular — útil quando o objetivo é maximizar dissipação por unidade de massa (por exemplo, em aplicações onde peso é crítico).
  • Nota sobre aproximações: usei a aproximação de ponta praticamente isolada no caso retangular (comportamento real de ponta convectiva teria efeito pequeno no resultado) e tratei perímetro molhado P\approx 2 por unidade de largura. Esses pressupostos são válidos para aletas “finas” (espessura pequena comparada ao comprimento), como aqui.

Resposta

Eficiência da aleta retangular \eta_{\text{ret}}\approx 0{,}86.
Eficiência da aleta triangular \eta_{\text{tri}}\approx 0{,}812.
A melhor relação “calor dissipado por massa” é da aleta triangular (aproximadamente 1{,}89 vezes a relação Q/m da aleta retangular).

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