Um tubo de vapor ( \mathrm{D}_{1}=50 \mathrm{~mm} ) possui aletas anulares de alumínio ( \mathrm{k}=200 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) com espessura \mathrm{t}=3 \mathrm{~mm} e diâmetro externo \mathrm{D}_{2}=100 \mathrm{~mm}. Se \mathrm{h}=80 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}, determine a eficiência da aleta.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (já convertidos para SI):
  • Diâmetro do tubo (diâmetro interno da aleta): D_{1}=50\\ \text{mm}=0{,}050\\ \text{m}.
  • Diâmetro externo da aleta: D_{2}=100\\ \text{mm}=0{,}100\\ \text{m}.
  • Espessura da aleta: t=3\\ \text{mm}=0{,}003\\ \text{m}.
  • Condutividade térmica do alumínio: k=200\\ \text{W/m}\cdot\text{K}.
  • Coeficiente de convecção: h=80\\ \text{W/m}^{2}\cdot\text{K}.
O que se pede:
  • Determinar a eficiência da aleta (eficiência da aleta anular).
Observações úteis extraídas dos dados:
  • Raio interno (base da aleta): r_{1}=D_{1}/2=0{,}025\\ \text{m}.
  • Raio externo: r_{2}=D_{2}/2=0{,}050\\ \text{m}.
  • Espessura t é muito menor que os raios, portanto podemos usar aproximação unidimensional na direção radial tratada como um “fin reto” de comprimento L=r_{2}-r_{1}.

Passo 2

Conceito e método (aulas rápidas, sem pânico):
  • Definição de eficiência da aleta: a eficiência da aleta \eta_f é a razão entre o calor realmente transferido pela aleta e o calor que seria transferido se toda a superfície da aleta estivesse à temperatura da raiz (temperatura da base):
\eta_f=\frac{Q_{\text{real}}}{Q_{\max}}.
  • Para uma aleta fina e anular é comum aproximá‑la por um fin reto de geometria constante com convecção em ambas as faces (superior e inferior). Essa aproximação é bastante usada em provas porque dá uma fórmula simples e boa precisão quando a aleta é fina (caso aqui).
  • Para um fin reto de seção constante, com convecção nas duas faces e condição de ponta praticamente isolada, o parâmetro característico é
m=\sqrt{\frac{2h}{k\,t}}.
Explicando as variáveis: h é o coeficiente de convecção, k a condutividade da aleta, t a espessura (a razão 2h/(k t) aparece porque a perim. molhado por unidade de comprimento é P\approx 2 (duas faces) e a área de condução por seção é A_c\approx t por unidade de comprimento), e m tem dimensão de inverso de comprimento.
  • Para esse modelo simples, quando a ponta é aproximadamente isolada (ou quando mL não é grande), uma boa expressão aproximada para a eficiência é
\eta_f \approx \frac{\operatorname{tanh}(mL)}{mL},
onde L é o comprimento efetivo do fin (aqui L=r_{2}-r_{1}). Essa fórmula aparece com frequência em provas e é rápida de aplicar sem resolver Bessel complicados (a solução exata para aleta anular envolve funções de Bessel; usamos a aproximação reta por ser mais prática e apropriada ao caso).

Passo 3

Calcular o comprimento efetivo L e o parâmetro m:
  • Comprimento da aleta (espessura radial):
L = r_{2}-r_{1}=\frac{D_{2}-D_{1}}{2}=\frac{0{,}100-0{,}050}{2}=0{,}025\\ \text{m}.
  • Calcular m pela fórmula
m=\sqrt{\frac{2h}{k\,t}}.
Substituindo h=80\\ \text{W/m}^{2}\cdot\text{K}, k=200\\ \text{W/m}\cdot\text{K}, t=0{,}003\\ \text{m}:
m=\sqrt{\frac{2\cdot 80}{200\cdot 0{,}003}} =\sqrt{\frac{160}{0{,}6}} =\sqrt{266{,}666\ldots} \approx 16{,}3299\\ \text{m}^{-1}.

Passo 4

Calcular mL e \operatorname{tanh}(mL):
  • Produto
mL=16{,}3299\times 0{,}025\approx 0{,}408248.
  • Calcular \operatorname{tanh}(mL). Podemos usar a definição ou aproximação numérica:
\operatorname{tanh}(0{,}408248)\approx 0{,}3870\\ (\text{valor numérico}).é

Passo 5

Calcular a eficiência pelo modelo aproximado:
\eta_f \approx \frac{\operatorname{tanh}(mL)}{mL} \approx \frac{0{,}3870}{0{,}408248} \approx 0{,}9484.
Arredondando com sentido prático (duas casas decimais) dá aproximadamente 0{,}95.
Comentário didático rápido: esse valor significa que a aleta está transferindo cerca de 94{,}8\% do calor que transferiria se toda a sua superfície estivesse na temperatura da base — ou seja, a aleta é bem eficiente (valores próximos de 1 indicam boa eficiência). A aproximação usada aqui é a que costuma ser pedida em provas: é direta, usa apenas a fórmula de m e a expressão \operatorname{tanh}(mL)/(mL). A solução exata para aleta anular exige funções de Bessel; daria um resultado muito próximo, mas envolve cálculo mais pesado.

Resposta

\eta_f \approx 0{,}948 (aproximadamente 94{,}8\%).

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