Um tubo de vapor (
) possui aletas anulares de alumínio (
) com espessura
e diâmetro externo
. Se
, determine a eficiência da aleta.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (já convertidos para SI):
- Diâmetro do tubo (diâmetro interno da aleta):
. - Diâmetro externo da aleta:
. - Espessura da aleta:
. - Condutividade térmica do alumínio:
. - Coeficiente de convecção:
.
O que se pede:
- Determinar a eficiência da aleta (eficiência da aleta anular).
Observações úteis extraídas dos dados:
- Raio interno (base da aleta):
. - Raio externo:
. - Espessura
é muito menor que os raios, portanto podemos usar aproximação unidimensional na direção radial tratada como um “fin reto” de comprimento .
Passo 2
Conceito e método (aulas rápidas, sem pânico):
- Definição de eficiência da aleta: a eficiência da aleta
é a razão entre o calor realmente transferido pela aleta e o calor que seria transferido se toda a superfície da aleta estivesse à temperatura da raiz (temperatura da base):
- Para uma aleta fina e anular é comum aproximá‑la por um fin reto de geometria constante com convecção em ambas as faces (superior e inferior). Essa aproximação é bastante usada em provas porque dá uma fórmula simples e boa precisão quando a aleta é fina (caso aqui).
- Para um fin reto de seção constante, com convecção nas duas faces e condição de ponta praticamente isolada, o parâmetro característico é
Explicando as variáveis:
é o coeficiente de convecção,
a condutividade da aleta,
a espessura (a razão
aparece porque a perim. molhado por unidade de comprimento é
(duas faces) e a área de condução por seção é
por unidade de comprimento), e
tem dimensão de inverso de comprimento.
- Para esse modelo simples, quando a ponta é aproximadamente isolada (ou quando
não é grande), uma boa expressão aproximada para a eficiência é
onde
é o comprimento efetivo do fin (aqui
). Essa fórmula aparece com frequência em provas e é rápida de aplicar sem resolver Bessel complicados (a solução exata para aleta anular envolve funções de Bessel; usamos a aproximação reta por ser mais prática e apropriada ao caso).
Passo 3
Calcular o comprimento efetivo
e o parâmetro
:
- Comprimento da aleta (espessura radial):
- Calcular
pela fórmula
Substituindo
,
,
:
Passo 4
Calcular
e
:
- Produto
- Calcular
. Podemos usar a definição ou aproximação numérica:
Passo 5
Calcular a eficiência pelo modelo aproximado:
Arredondando com sentido prático (duas casas decimais) dá aproximadamente
.
Comentário didático rápido: esse valor significa que a aleta está transferindo cerca de
do calor que transferiria se toda a sua superfície estivesse na temperatura da base — ou seja, a aleta é bem eficiente (valores próximos de 1 indicam boa eficiência). A aproximação usada aqui é a que costuma ser pedida em provas: é direta, usa apenas a fórmula de
e a expressão
. A solução exata para aleta anular exige funções de Bessel; daria um resultado muito próximo, mas envolve cálculo mais pesado.