Uma tubulação de 20 cm de diâmetro interno, espessura de
e (
) que atravessa o galpão de uma fábrica de 300 m , transporta água quente a
(h
). Devido ao mau isolamento térmico, que consiste numa camada de 15
, durante os meses de junho e julho, quando a temperatura ambiente cai a
e o coeficiente de transferência de calor é igual a
(período em que o problema se agrava por conta do inverno), há a necessidade de reaquecer a água quando chega ao seu destino, a partir de uma energia que custa R$
h. Pede-se:
a) Calcular a taxa de calor;
b) Se a camada de isolamento for aumentada para 25 cm , qual é o custo adicional justificável para comprar o isolamento?
a) Calcular a taxa de calor;
b) Se a camada de isolamento for aumentada para 25 cm , qual é o custo adicional justificável para comprar o isolamento?
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados ele nos dá.
-
Perguntas:
a) Calcular a taxa de calor perdida pela tubulação (potência térmica perdida).
b) Se a camada de isolamento for aumentada para 25cm, qual é o custo adicional justificável para comprar esse isolamento (considerando a economia de energia nos meses de junho e julho)? -
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
- comprimento da tubulação:
. - diâmetro interno do tubo:
. - espessura da parede do tubo (metal):
. - condutividade térmica do metal do tubo:
. - temperatura da água (núcleo):
. - coeficiente convectivo interno (água → parede interna):
. - isolamento atual: espessura
, condutividade . - temperatura ambiente (época crítica):
. - coeficiente convectivo externo (condições ambiente):
. - preço da energia: R$\
/kWh.
- comprimento da tubulação:
-
Observação (assunção necessária para (b)): vou assumir que “nos meses de junho e julho” o sistema opera continuamente todo o período, isto é,
dias horas. Se você preferir outro número de horas, posso ajustar depois.
Passo 2
Estratégia de cálculo — como modelamos a transferência de calor e fórmulas que vamos usar (aula rápida e amigável).
-
A tubulação, água quente dentro, tem várias resistências térmicas em série ao longo da secção transversal cilíndrica: convecção interna (água → parede interna), condução através da parede do tubo (cilíndrica), condução através do isolamento (cilíndrica), e convecção externa (superfície do isolamento → ar). Para fluxo de calor radial estacionário por unidade de comprimento, usamos resistências por metro de comprimento.
-
Fórmula geral (analogia elétrica):
onde
é a taxa de calor por unidade de comprimento (W/m) e
é a resistência térmica total por unidade de comprimento (°C·m/W ou melhor °C/W por metro de comprimento).
-
As resistências (por metro de comprimento) são:
- convecção interna:
- condução através do tubo (parede cilíndrica):
- condução através do isolamento (cilíndrico):
- convecção externa:
- convecção interna:
-
Explicando variáveis (passo a passo):
é o raio interno do tubo (metade do diâmetro interno), é o raio externo do tubo (raio interno + espessura do metal), é o raio interno do isolamento, e é o raio externo do isolamento. O logaritmo natural aparece porque a área de condução em um cilindro varia com o raio. -
Depois de calcular
(W/m) multiplicamos por para obter a potência total perdida (W). Para economia de energia, convertendo potência reduzida em kW para energia: tempo (h).
Passo 3
Calcular os raios geométricos com precisão, valores numéricos.
- raio interno do tubo:
- raio externo do tubo (após a parede metálica):
- para o isolamento original (15 cm):
- raio externo do isolamento:
- raio externo do isolamento:
- para o isolamento proposto (25 cm):
- raio externo do isolamento novo:
- raio externo do isolamento novo:
Passo 4
Cálculo detalhado das resistências para o caso inicial (isolamento de 15
cm). Vou calcular termo a termo e explicar as contas.
- resistência convectiva interna:
Calculemos o denominador:
. Então
(Obs.: a unidade é resistência por metro de comprimento; esse número indica que a convecção interna é uma resistência significativa.)
- resistência de condução no tubo metálico:
Calculemos:
. Denominador
. Logo
(Praticamente desprezível frente às convecções e ao isolamento.)
- resistência de condução no isolamento (caso 15
cm):
Calculemos:
;
. Denominador
. Então
- resistência convectiva externa:
Denominador
. Então
- resistência total por metro (caso inicial):
Passo 5
Calcular a taxa de calor perdida total (caso inicial) e interpretar resultado.
- diferença de temperatura:
- taxa por unidade de comprimento:
- potência total perdida pela tubulação de comprimento
:
Interpretação curta e motivadora: com o isolamento de 15
cm e as condições de inverno dadas, a tubulação perde cerca de
continuamente; por isso é necessário reaquecer a água no destino.
Passo 6
Repetir o cálculo para o caso proposto: isolamento de 25
cm (0,25 m). Aqui só mudam
e as duas resistências que dependem dele.
- já tínhamos
. -
e permanecem iguais: -
, -
.
-
- nova resistência de condução no isolamento:
Calculemos:
;
. Denominador
. Então
- nova resistência externa (convecção):
Denominador
. Assim
- resistência total no caso novo:
- taxa por unidade de comprimento (novo):
- potência total perdida com o isolamento de 25
cm:
Passo 7
Cálculo da economia de energia e do custo adicional justificável (resposta à parte b).
- redução de potência contínua (economia instantânea):
(onde converti ambos para kW:
e
.)
- energia economizada durante os meses de junho e julho (assumi
horas no total):
- custo economizado (preço R$\
/kWh):
- Interpretação: se só considerarmos a economia nos dois meses de inverno mencionados, o máximo que se justificaria pagar pelo isolamento adicional (25 cm vs 15 cm) é cerca de R$\
. Se o isolamento tiver vida útil maior e economizar também em outros meses/anos, o valor justificável seria maior (poderia amortizar ao longo de vários anos). Também é possível considerar outros benefícios (segurança, conforto, redução de perda de água quente) ao decidir o investimento.
Resposta
(a)
(b) Custo adicional justificável (economia em jun+jul, 61 dias)
(b) Custo adicional justificável (economia em jun+jul, 61 dias)