Uma tubulação de 20 cm de diâmetro interno, espessura de 1,8 \mathrm{~cm} e ( \mathrm{k}=50 \mathrm{~W} / \mathrm{m} { }^{\circ} \mathrm{C} ) que atravessa o galpão de uma fábrica de 300 m , transporta água quente a 200^{\circ} \mathrm{C} (h =10 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C} ). Devido ao mau isolamento térmico, que consiste numa camada de 15 \mathrm{cm}\left(\mathrm{k}=0,15 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}\right), durante os meses de junho e julho, quando a temperatura ambiente cai a 12^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente de transferência de calor é igual a 8 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} (período em que o problema se agrava por conta do inverno), há a necessidade de reaquecer a água quando chega ao seu destino, a partir de uma energia que custa R$ 0,10 / \mathrm{kW} h. Pede-se:
a) Calcular a taxa de calor;
b) Se a camada de isolamento for aumentada para 25 cm , qual é o custo adicional justificável para comprar o isolamento?

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados ele nos dá.
  • Perguntas:
    a) Calcular a taxa de calor perdida pela tubulação (potência térmica perdida).
    b) Se a camada de isolamento for aumentada para 25 \,cm, qual é o custo adicional justificável para comprar esse isolamento (considerando a economia de energia nos meses de junho e julho)?
  • Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
    • comprimento da tubulação: L=300\\ \mathrm{m}.
    • diâmetro interno do tubo: D_i=20\\ \mathrm{cm}=0,20\\ \mathrm{m}.
    • espessura da parede do tubo (metal): t_{\text{tubo}}=1{,}8\\ \mathrm{cm}=0,018\\ \mathrm{m}.
    • condutividade térmica do metal do tubo: k_{\text{tubo}}=50\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\,^\circ\mathrm{C}.
    • temperatura da água (núcleo): T_i=200^\circ\mathrm{C}.
    • coeficiente convectivo interno (água → parede interna): h_i=10\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\,^\circ\mathrm{C}.
    • isolamento atual: espessura t_{\text{ins,1}}=15\\ \mathrm{cm}=0,15\\ \mathrm{m}, condutividade k_{\text{ins}}=0{,}15\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\,^\circ\mathrm{C}.
    • temperatura ambiente (época crítica): T_\infty=12^\circ\mathrm{C}.
    • coeficiente convectivo externo (condições ambiente): h_o=8\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\,^\circ\mathrm{C}.
    • preço da energia: R$\ 0,10/kWh.
  • Observação (assunção necessária para (b)): vou assumir que “nos meses de junho e julho” o sistema opera continuamente todo o período, isto é, 30+31=61 dias \Rightarrow 61\cdot24=1464 horas. Se você preferir outro número de horas, posso ajustar depois.

Passo 2

Estratégia de cálculo — como modelamos a transferência de calor e fórmulas que vamos usar (aula rápida e amigável).
  • A tubulação, água quente dentro, tem várias resistências térmicas em série ao longo da secção transversal cilíndrica: convecção interna (água → parede interna), condução através da parede do tubo (cilíndrica), condução através do isolamento (cilíndrica), e convecção externa (superfície do isolamento → ar). Para fluxo de calor radial estacionário por unidade de comprimento, usamos resistências por metro de comprimento.
  • Fórmula geral (analogia elétrica): q'=\frac{T_i-T_\infty}{R_{\text{tot}}}
onde q' é a taxa de calor por unidade de comprimento (W/m) e R_{\text{tot}} é a resistência térmica total por unidade de comprimento (°C·m/W ou melhor °C/W por metro de comprimento).
  • As resistências (por metro de comprimento) são:
    • convecção interna: R_i=\frac{1}{h_i\;2\pi r_i}
    • condução através do tubo (parede cilíndrica): R_{\text{tubo}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{o,\text{tubo}}}{r_i}\right)}{2\pi k_{\text{tubo}}}
    • condução através do isolamento (cilíndrico): R_{\text{ins}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{o,\text{ins}}}{r_{i,\text{ins}}}\right)}{2\pi k_{\text{ins}}}
    • convecção externa: R_o=\frac{1}{h_o\;2\pi r_{o,\text{ins}}}
  • Explicando variáveis (passo a passo): r_i é o raio interno do tubo (metade do diâmetro interno), r_{o,\text{tubo}} é o raio externo do tubo (raio interno + espessura do metal), r_{i,\text{ins}}=r_{o,\text{tubo}} é o raio interno do isolamento, e r_{o,\text{ins}}=r_{i,\text{ins}}+t_{\text{ins}} é o raio externo do isolamento. O logaritmo natural \ln aparece porque a área de condução em um cilindro varia com o raio.
  • Depois de calcular q' (W/m) multiplicamos por L para obter a potência total perdida \dot{Q} = q' \, L (W). Para economia de energia, convertendo potência reduzida em kW para energia: E(\mathrm{kWh})=\Delta\dot{Q}(\mathrm{kW})\times tempo (h).

Passo 3

Calcular os raios geométricos com precisão, valores numéricos.
  • raio interno do tubo: r_i=\frac{D_i}{2}=\frac{0{,}20}{2}=0{,}10\\ \mathrm{m}.
  • raio externo do tubo (após a parede metálica): r_{o,\text{tubo}}=r_i+t_{\text{tubo}}=0{,}10+0{,}018=0{,}118\\ \mathrm{m}.
  • para o isolamento original (15 cm):
    • raio externo do isolamento: r_{o,\text{ins,1}}=r_{o,\text{tubo}}+t_{\text{ins,1}}=0{,}118+0{,}15=0{,}268\\ \mathrm{m}.
  • para o isolamento proposto (25 cm):
    • raio externo do isolamento novo: r_{o,\text{ins,2}}=0{,}118+0{,}25=0{,}368\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Cálculo detalhado das resistências para o caso inicial (isolamento de 15 \,cm). Vou calcular termo a termo e explicar as contas.
  • resistência convectiva interna:
R_i=\frac{1}{h_i\;2\pi r_i}=\frac{1}{10\cdot 2\pi\cdot 0{,}10}.
Calculemos o denominador: 2\pi\cdot 0{,}10\approx 0{,}6283185. Então
R_i\approx\frac{1}{6{,}283185}=0{,}159155\\ \bigl(^\circ\mathrm{C}\cdot\mathrm{m}/\mathrm{W}\bigr).
(Obs.: a unidade é resistência por metro de comprimento; esse número indica que a convecção interna é uma resistência significativa.)
  • resistência de condução no tubo metálico:
R_{\text{tubo}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{o,\text{tubo}}}{r_i}\right)}{2\pi k_{\text{tubo}}} =\frac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}118}{0{,}10}\right)}{2\pi\cdot 50}.
Calculemos: \ln(1{,}18)\approx 0{,}165514. Denominador 2\pi\cdot 50\approx 314{,}159. Logo
R_{\text{tubo}}\approx\frac{0{,}165514}{314{,}159}\approx 0{,}000527\\ \bigl(^\circ\mathrm{C}\cdot\mathrm{m}/\mathrm{W}\bigr).
(Praticamente desprezível frente às convecções e ao isolamento.)
  • resistência de condução no isolamento (caso 15 \,cm):
R_{\text{ins,1}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{o,\text{ins,1}}}{r_{o,\text{tubo}}}\right)}{2\pi k_{\text{ins}}} =\frac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}268}{0{,}118}\right)}{2\pi\cdot 0{,}15}.
Calculemos: \dfrac{0{,}268}{0{,}118}\approx 2{,}271186; \ln(2{,}271186)\approx 0{,}820981. Denominador 2\pi\cdot 0{,}15\approx 0{,}942478. Então
R_{\text{ins,1}}\approx\frac{0{,}820981}{0{,}942478}\approx 0{,}8715\\ \bigl(^\circ\mathrm{C}\cdot\mathrm{m}/\mathrm{W}\bigr).
  • resistência convectiva externa:
R_o=\frac{1}{h_o\;2\pi r_{o,\text{ins,1}}}=\frac{1}{8\cdot 2\pi\cdot 0{,}268}.
Denominador 8\cdot 2\pi\cdot 0{,}268\approx 13{,}462. Então
R_o\approx 0{,}0743\\ \bigl(^\circ\mathrm{C}\cdot\mathrm{m}/\mathrm{W}\bigr).
  • resistência total por metro (caso inicial):
R_{\text{tot,1}}=R_i+R_{\text{tubo}}+R_{\text{ins,1}}+R_o \approx 0{,}159155+0{,}000527+0{,}8715+0{,}0743\approx 1{,}10548\\ \bigl(^\circ\mathrm{C}\cdot\mathrm{m}/\mathrm{W}\bigr).

Passo 5

Calcular a taxa de calor perdida total (caso inicial) e interpretar resultado.
  • diferença de temperatura:
\Delta T=T_i-T_\infty=200-12=188^\circ\mathrm{C}.
  • taxa por unidade de comprimento:
q'_1=\frac{\Delta T}{R_{\text{tot,1}}}=\frac{188}{1{,}10548}\approx 170{,}14\\ \mathrm{W/m}.
  • potência total perdida pela tubulação de comprimento L:
\dot{Q}_1=q'_1\cdot L\approx 170{,}14\cdot 300\approx 51\,042\\ \mathrm{W}\approx 51{,}0\\ \mathrm{kW}.
Interpretação curta e motivadora: com o isolamento de 15 \,cm e as condições de inverno dadas, a tubulação perde cerca de 51{,}0\\ \mathrm{kW} continuamente; por isso é necessário reaquecer a água no destino.

Passo 6

Repetir o cálculo para o caso proposto: isolamento de 25 \,cm (0,25 m). Aqui só mudam r_{o,\text{ins}} e as duas resistências que dependem dele.
  • já tínhamos r_{o,\text{ins,2}}=0{,}368\\ \mathrm{m}.
  • R_i e R_{\text{tubo}} permanecem iguais:
    • R_i\approx 0{,}159155,
    • R_{\text{tubo}}\approx 0{,}000527.
  • nova resistência de condução no isolamento:
R_{\text{ins,2}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}368}{0{,}118}\right)}{2\pi\cdot 0{,}15}.
Calculemos: \dfrac{0{,}368}{0{,}118}\approx 3{,}11864; \ln(3{,}11864)\approx 1{,}137. Denominador 2\pi\cdot0{,}15\approx 0{,}942478. Então
R_{\text{ins,2}}\approx\frac{1{,}137}{0{,}942478}\approx 1{,}2068\\ \bigl(^\circ\mathrm{C}\cdot\mathrm{m}/\mathrm{W}\bigr).
  • nova resistência externa (convecção):
R_{o,2}=\frac{1}{h_o\;2\pi r_{o,\text{ins,2}}}=\frac{1}{8\cdot 2\pi\cdot 0{,}368}.
Denominador 8\cdot 2\pi\cdot 0{,}368\approx 18{,}496. Assim
R_{o,2}\approx 0{,}05405\\ \bigl(^\circ\mathrm{C}\cdot\mathrm{m}/\mathrm{W}\bigr).
  • resistência total no caso novo:
R_{\text{tot,2}}=R_i+R_{\text{tubo}}+R_{\text{ins,2}}+R_{o,2} \approx 0{,}159155+0{,}000527+1{,}2068+0{,}05405\approx 1{,}42053.
  • taxa por unidade de comprimento (novo):
q'_2=\frac{\Delta T}{R_{\text{tot,2}}}=\frac{188}{1{,}42053}\approx 132{,}36\\ \mathrm{W/m}.
  • potência total perdida com o isolamento de 25 \,cm:
\dot{Q}_2=q'_2\cdot L\approx 132{,}36\cdot 300\approx 39\,707\\ \mathrm{W}\approx 39{,}7\\ \mathrm{kW}.

Passo 7

Cálculo da economia de energia e do custo adicional justificável (resposta à parte b).
  • redução de potência contínua (economia instantânea):
\Delta \dot{Q}=\dot{Q}_1-\dot{Q}_2\approx 51{,}042-39{,}707=11{,}335\\ \mathrm{kW}.
(onde converti ambos para kW: 51{,}042\\ \mathrm{W}=51{,}042\\ \mathrm{kW} e 39{,}707\\ \mathrm{W}=39{,}707\\ \mathrm{kW}.)
  • energia economizada durante os meses de junho e julho (assumi 1464 horas no total):
E_{\text{saved}}=\Delta \dot{Q}\times t=11{,}335\\ \mathrm{kW}\times 1464\\ \mathrm{h}\approx 16\,594{,}4\\ \mathrm{kWh}.
  • custo economizado (preço R$\ 0{,}10/kWh):
\text{Economia monetária} = E_{\text{saved}}\times 0{,}10\\ \mathrm{R\$}/\mathrm{kWh} \approx 16\,594{,}4\times 0{,}10 \approx \mathrm{R\$}\,1\,659{,}44.á
  • Interpretação: se só considerarmos a economia nos dois meses de inverno mencionados, o máximo que se justificaria pagar pelo isolamento adicional (25 cm vs 15 cm) é cerca de R$\ 1\,659{,}44. Se o isolamento tiver vida útil maior e economizar também em outros meses/anos, o valor justificável seria maior (poderia amortizar ao longo de vários anos). Também é possível considerar outros benefícios (segurança, conforto, redução de perda de água quente) ao decidir o investimento.

Resposta

(a) \dot{Q}_1 \approx 51{,}0\\ \mathrm{kW}
(b) Custo adicional justificável (economia em jun+jul, 61 dias) \approx \mathrm{R\$}\,1\,659{,}44

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