Qual o algarismo das unidades de 2^{2015}.

Passo 1

O enunciado pede o algarismo das unidades de 2^{2015}. Para isso, precisamos usar o conceito de periodicidade do último dígito das potências de 2, ou seja, trabalhar com aritmética modular em base 10.

Passo 2

Vamos observar as potências de 2 e seus algarismos das unidades: \;2^1=2 (unidades 2), \;2^2=4 (unidades 4), \;2^3=8 (unidades 8), \;2^4=16 (unidades 6), \;2^5=32 (unidades 2), …
Percebe-se que os últimos dígitos formam o ciclo \{2,4,8,6\} de período 4.

Passo 3

Para saber em que posição do ciclo cai 2^{2015}, calculamos o resto da divisão de 2015 por 4:
2015 \bmod 4 = 3.
Isso significa que 2^{2015} tem o mesmo algarismo das unidades de 2^3.

Passo 4

Como no ciclo \{2,4,8,6\} o terceiro elemento é 8, concluímos que o algarismo das unidades de 2^{2015} é 8.

Resposta

8

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