Qual o último algarismo do número 4567^{4567}.

Passo 1

O enunciado pede o último algarismo de \,4567^{4567}. Em termos de aritmética modular, isso equivale a calcular
4567^{4567}\bmod 10.
Para isso, vamos usar congruências e o ciclo de potências do último dígito.

Passo 2

O último dígito de 4567^{4567} depende só do último dígito da base. Como
4567 \equiv 7 \pmod{10},
temos
4567^{4567}\equiv 7^{4567}\pmod{10}.

Passo 3

Precisamos achar 7^{4567}\bmod10. Para isso, observamos o ciclo de potências de 7 módulo 10:
7^1\equiv7,\quad 7^2\equiv49\equiv9,\quad 7^3\equiv9\cdot7=63\equiv3,\quad 7^4\equiv3\cdot7=21\equiv1\pmod{10}.
Logo, o ciclo de últimos dígitos é (7,9,3,1) e se repete a cada 4 expoentes.

Passo 4

Como o período é 4, basta saber 4567\bmod4. Note que
4567 = 4\times1141 + 3,
então
4567 \equiv 3 \pmod{4}.

Passo 5

Isso implica
7^{4567}\equiv 7^3 \equiv 3 \pmod{10}.
Portanto, o último dígito de 4567^{4567} é 3.

Resposta

3

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