Seja n um inteiro positivo cuja expressão na base b=10 é dada por
n=a_{k} \cdot b^{k}+a_{k-1} \cdot b^{k-1}+a_{k-2} \cdot b^{k-2}+\cdots+a_{2} \cdot b^{2}+a_{1} \cdot b+a_{0}
onde os algarismos a_{k}, a_{k-1}, a_{k-2}, \cdots, a_{2}, a_{1}, a_{0} \in\{0,1,2,3, \ldots, 9\}. Mostre que:
2 \mid n se e somente se, 2 \mid a_{0}

Passo 1

O enunciado dá a representação decimal de um inteiro positivo n e pede para mostrar que a divisibilidade de n por 2 depende só do último dígito a_{0}. O conteúdo aqui é aritmética modular e prova de teste de paridade usando representação em base 10.

Passo 2

Reescrevemos n destacando o termo com a_{0} e agrupando os demais em um múltiplo de 10:
n \;=\; a_{k}10^{k} + a_{k-1}10^{k-1} + \cdots + a_{1}10 + a_{0} \;=\; a_{0} \;+\; 10\Bigl(a_{1} + a_{2}10 + \cdots + a_{k}10^{\,k-1}\Bigr).

Passo 3

Como 10 é múltiplo de 2, o termo
10\Bigl(a_{1} + a_{2}10 + \cdots + a_{k}10^{\,k-1}\Bigr)
é também múltiplo de 2. Logo, na aritmética modular:
n \equiv a_{0} \pmod{2}.

Passo 4

Da congruência n\equiv a_{0}\pmod{2} segue imediatamente que 2\mid n se e somente se 2\mid a_{0}.

Resposta

2\mid n se e somente se 2\mid a_{0}.

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