Com os algarismos 0,1,2,3,4,5 e 6 são formados números de 4 algarismos que são divisíveis por 5. Responda:
a) Quantos números podem ser formados?
b) Quantos números possuem algarismos distintos?

Passo 1

O enunciado pede que formemos todos os números de quatro dígitos usando apenas os algarismos \{0,1,2,3,4,5,6\} tais que sejam divisíveis por 5. Depois, dentro desses, queremos contar quantos têm todos os dígitos distintos. Vamos usar contagem por escolhas sucessivas de dígitos e, para a parte (b), separar os casos em que o dígito final é zero ou é cinco.

Passo 2

Para ser divisível por 5, o último dígito deve ser 0 ou 5.
  • Escolhas para o último dígito: 2 opções 0 ou 5.
  • Escolhas para o primeiro dígito (milhar): não pode ser zero, logo 6 opções 1,2,3,4,5,6, independentemente do que foi escolhido no final.
  • Para as casas de centenas e dezenas, cada uma pode ser qualquer um dos 7 dígitos restantes (repetições permitidas).
    Assim, o total é
6 \times 7 \times 7 \times 2 = 588.

Passo 3

Agora só queremos aqueles com todos os quatro dígitos distintos. Ainda o último dígito é 0 ou 5, mas não podemos repetir dígitos:
Caso 1: último dígito = 0.
  • Milhar: qualquer de \{1,2,3,4,5,6\}, ou seja 6 opções.
  • Centena: sobram 5 dígitos.
  • Dezena: sobram 4 dígitos.
    Total neste caso: 6 \times 5 \times 4 = 120.
Caso 2: último dígito = 5.
  • Milhar: não pode ser 0 nem 5, então 5 opções 1,2,3,4,6.
  • Centena: sobram 5 dígitos.
  • Dezena: sobram 4 dígitos.
    Total neste caso: 5 \times 5 \times 4 = 100.
Somando os dois casos, obtemos 120 + 100 = 220.

Resposta

a) 588
b) 220

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