(UFPI) O número natural n que satisfaz a equação P_{n}-P_{n-1}=100 P_{n-2} é:
a) 9
b) 10
c) 11
d) 12
e) 13

Passo 1

O enunciado trata de permutações de n elementos, sendo
P_{n}=n!
e pede o valor de n tal que
P_{n}-P_{n-1}=100\,P_{n-2}.

Passo 2

Substituindo P_{n}=n!, P_{n-1}=(n-1)! e P_{n-2}=(n-2)! na equação, obtemos
n! - (n-1)! = 100\,(n-2)!.

Passo 3

Fatoremos (n-1)! em n! - (n-1)!:
n! - (n-1)! = (n-1)!\,(n - 1).
Como (n-1)!=(n-1)(n-2)!, isso vira
(n-1)!\,(n - 1) = (n-1)(n-1)(n-2)! = (n-1)^{2}(n-2)!.

Passo 4

A equação original fica
(n-1)^{2}(n-2)! = 100\,(n-2)!.
Dividindo por (n-2)!\neq0, chega-se a
(n-1)^{2} = 100 \quad\Longrightarrow\quad n-1 = \pm 10.
Descartamos n-1=-10 (não é natural) e tomamos n-1=10, logo n=11.

Resposta

11

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