(UFMS) Sobre análise combinatória, é correto afirmar que:
a) Se A é o conjunto de números de dois algarismos distintos formados a partir dos dígitos 1,2 e 3 , então o número de elementos de A é 9.
b) Com relação à palavra VESTIBULAR temos 9 \cdot 4 ! Anagramas que começam com vogal.
c) Se \mathrm{A}_{\mathrm{m}, 3}=30 \mathrm{~m}, então \mathrm{m}=10.
d) Lançando-se uma moeda 3 vezes, o número de sequências possíveis de cara e/ou coroa é 8.

Passo 1

O enunciado apresenta quatro afirmações sobre análise combinatória e pede qual(is) delas é(são) correta(s). Vamos usar permutações, anagramas e o princípio fundamental da contagem para verificar cada item.

Passo 2

Afirmação (a): “Se A é o conjunto de números de dois algarismos distintos formados a partir dos dígitos \{1,2,3\}, então |A|=9.”
Para formar números de dois algarismos distintos usando apenas \{1,2,3\}, escolhemos o primeiro algarismo em 3 formas e o segundo em 2 formas.
|A| = 3 \times 2 = 6.
Logo, a afirmação (a) é falsa.

Passo 3

Afirmação (b): “Com relação à palavra VESTIBULAR temos 9\cdot4! anagramas que começam com vogal.”
A palavra “VESTIBULAR” tem 10 letras todas distintas, sendo 4 vogais (E, I, U, A). O número de anagramas que começam com uma vogal é: 4 \times 9! e não 9\cdot4!. Portanto, a afirmação (b) é falsa.

Passo 4

Afirmação (c): “Se \mathrm{A}_{m,3}=30\,m, então m=10.”
Sabendo que
\mathrm{A}_{m,3}=\frac{m!}{(m-3)!}=m\,(m-1)\,(m-2),
a igualdade \;m\,(m-1)\,(m-2)=30\,m\; (com m\neq0) implica
(m-1)(m-2)=30 \;\Longrightarrow\;m^2-3m+2=30 \;\Longrightarrow\;m^2-3m-28=0
que tem solução positiva m=7. Logo, (c) é falsa.

Passo 5

Afirmação (d): “Lançando-se uma moeda 3 vezes, o número de sequências possíveis de cara e/ou coroa é 8.”
Cada lançamento tem 2 resultados, e são independentes, então o total é
2^3 = 8.
Portanto, a afirmação (d) é verdadeira.

Resposta

d)

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