(Álgebra básica do método simplex para resolução de problemas de otimização linear) Considere um sistema linear A x=b, onde A é matriz m times n com m<n. Escrevemos A=[llB & N], onde B é a matriz quadrada de ordem n formada pelas n primeiras colunas de A, e N a matriz das n-m últimas colunas de A. Tomemos x=[lxB xN], onde xB é formado pelas n primeiras entradas de x e xN formado pelas n-m últimas entradas de x. O sistema A x=b pode ser então escrito como
B xB+N xN=b
(a) Mostre que [llB & N][lxB xN]=B xB+N xN, e que portanto o sistema A x=b pode ser escrito como
B xB+N xN=b

Passo 1

O enunciado considera o sistema linear
A,x=b,
onde A é mtimes n com m<n, particionado horizontalmente em
A = l[B;Nr],
e o vetor x particionado verticalmente em
x=xBxN
Queremos usar a regra de multiplicação de matrizes em blocos para mostrar que
l[B;Nr]xBxN =B,xB+N,xN,
e assim reescrever o sistema como B,xB+N,xN=b.

Passo 2

Pelo produto de uma matriz mtimes n particionada em l[B;Nr] com um vetor particionado em xBxN, cada componente i do resultado é
sumj=1^mBij,(xB)j ;+; sumk=1^n-mN,i k,(xN)k,
que é exatamente a i-ésima componente de B,xB+N,xN. Logo, em notação de blocos, vale a igualdade
l[B;Nr]xBxN =B,xB+N,xN
Daí segue imediatamente que o sistema A,x=b pode ser escrito como
B,xB+N,xN=b

Resposta

l[B;Nr]xBxN =B,xB+N,xN,
ou seja,
B,xB+N,xN=b

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