Usando matrizes elementares, mostre que se A é inversível e B é linha equivalente à A então B também é inversível.

Passo 1

O enunciado afirma que temos uma matriz A inversível e uma matriz B que é obtida a partir de A por operações elementares de linha (isto é, B é linha equivalente a A). O conteúdo principal é a relação entre operações elementares de linha e matrizes elementares, sabendo que cada matriz elementar é invertível. O que precisamos mostrar é que B também é inversível.

Passo 2

Por definição, dizer que B é linha equivalente a A significa que há uma sequência finita de operações elementares de linha que transforma A em B. Cada operação elementar de linha corresponde a multiplicar por uma matriz elementar invertível à esquerda. Assim, existem matrizes elementares
E1,E2,dots,Ek invertíveis tais que
B ;=;Ek,Ek-1cdots E1,A

Passo 3

Defina
E ;=;Ek,Ek-1cdots E1
Como cada Ei é invertível, o produto E também é invertível, com
E^-1 =E1^-1,E2^-1cdots Ek^-1
Portanto fica
B ;=;E,A

Passo 4

Sabemos que produto de matrizes invertíveis é invertível. Como A é invertível por hipótese e E é invertível pelo passo anterior, concluímos que
B = E,A
é invertível, e sua inversa é
B^-1 =A^-1,E^-1

Resposta

A matriz B é inversível, pois B=E,A é produto de matrizes invertíveis. Além disso,
B^-1=A^-1,E^-1

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