Usando matrizes elementares, mostre que se
é inversível e
é linha equivalente à
então B também é inversível.
Passo 1
O enunciado afirma que temos uma matriz
inversível e uma matriz
que é obtida a partir de
por operações elementares de linha (isto é,
é linha equivalente a
). O conteúdo principal é a relação entre operações elementares de linha e matrizes elementares, sabendo que cada matriz elementar é invertível. O que precisamos mostrar é que
também é inversível.
Passo 2
Por definição, dizer que
é linha equivalente a
significa que há uma sequência finita de operações elementares de linha que transforma
em
. Cada operação elementar de linha corresponde a multiplicar por uma matriz elementar invertível à esquerda. Assim, existem matrizes elementares
invertíveis tais que
Passo 3
Defina
Como cada
é invertível, o produto
também é invertível, com
Portanto fica
Passo 4
Sabemos que produto de matrizes invertíveis é invertível. Como
é invertível por hipótese e
é invertível pelo passo anterior, concluímos que
é invertível, e sua inversa é
Resposta
A matriz
é inversível, pois
é produto de matrizes invertíveis. Além disso,