Considere a matriz
A=[rr 1 & 0 -5 & 2 ]
(a) Encontre matrizes elementares E1 e E2 tais que E2 E1 A=I2.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 0 -5 & 2
e pede duas matrizes elementares E1 e E2 tais que
E2,E1,A = I2
Em outras palavras, queremos reproduzir via multiplicação à esquerda as mesmas operações de linha que reduzem A à identidade. Precisaremos de uma operação para zerar o -5 em posição (2,1) e outra para escalar a linha 2, de modo a tornar o pivô igual a 1.

Passo 2

Para zerar o elemento -5 em (2,1) fazemos a operação de linha
R2 ;long<=ftarrow; R2 + 5,R1
A matriz elementar correspondente é
E1 = 1 & 0 5 & 1 ,
pois multiplica qualquer matriz à esquerda e soma 5 vezes a linha 1 na linha 2. De fato,
E1,A = 1 & 05 & 1 1 & 0-5 & 2 = 1 & 0 5cdot1+1cdot(-5) & 5cdot0+1cdot2 = 1 & 00 & 2

Passo 3

Agora queremos que o pivô em (2,2) fique igual a 1. Para isso escalamos a linha 2 por 1/2:
R2 ;long<=ftarrow; tfrac12,R2
A matriz elementar que faz isso é
E2 = 1 & 0 0 & tfrac12
Aplicando-a ao resultado anterior:
E2,(E1,A) = 1 & 00 & tfrac12 1 & 00 & 2 = 1 & 00 & 1 = I2

Resposta

E1 = 1 & 05 & 1, E2 = 1 & 00 & tfrac12

Exercícios relacionados