Considere a matriz
A=[rr 1 & 0 -5 & 2 ]
(b) A partir do item anterior, escreva A e A^-1 como produto de matrizes elementares.

Passo 1

O enunciado pede escrever A e A^-1 como produto de matrizes elementares, usando a teoria de fatoração por operações elementares (eliminação de Gauss).

Passo 2

Para reduzir A a I, aplicamos duas operações elementares sobre as linhas de A:
1. R2 R2 + 5R1. A matriz elementar correspondente é
E1 = 1 & 0 5 & 1,
pois
E1,A =1 & 0 5 & 1 1 & 0 -5 & 2 =1 & 0 0 & 2
2. R2 tfrac12,R2. A matriz elementar é
E2 = 1 & 0 0 & tfrac12,
pois
E2l(E1,Ar) =1 & 0 0 & tfrac12 1 & 0 0 & 2 =1 & 0 0 & 1 =I
Portanto
E2,E1,A=I

Passo 3

Da relação E2,E1,A=I segue diretamente que
A^-1=E2,E1

Passo 4

Invertendo cada matriz elementar, obtemos
E1^-1=1 & 0 -5 & 1, E2^-1=1 & 0 0 & 2
Como A^-1=E2E1, então
A =l(A^-1r)^-1 =(E2,E1)^-1 =E1^-1,E2^-1

Resposta

A =E1^-1,E2^-1 =1 & 0 -5 & 1 1 & 0 0 & 2,
A^-1 =E2,E1 =1 & 0 0 & tfrac12 1 & 0 5 & 1

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