(Álgebra básica do método simplex para resolução de problemas de otimização linear) Considere um sistema linear
, onde
é matriz
com
. Escrevemos
, onde
é a matriz quadrada de ordem
formada pelas
primeiras colunas de
, e
a matriz das
últimas colunas de
. Tomemos
, onde
é formado pelas
primeiras entradas de
e
formado pelas
últimas entradas de
. O sistema
pode ser então escrito como
(b) Se
for inversível, mostre que
é solução do sistema
, para qualquer
escolhido.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, quando
é inversível, a escolha
é de fato solução do sistema
sabendo que
e
. Vamos usar a propriedade de inversibilidade de
e simplesmente verificar que, ao substituir, a igualdade se satisfaz.
Passo 2
Como
é inversível, podemos reescrever
multiplicando à esquerda por
. Obtém-se
logo
Passo 3
Agora definimos
Ao calcular
temos
Pelo fato de
, isso é
Portanto a igualdade
fica satisfeita.
Resposta
para qualquer escolha de
.