(Álgebra básica do método simplex para resolução de problemas de otimização linear) Considere um sistema linear A x=b, onde A é matriz m times n com m<n. Escrevemos A=[llB & N], onde B é a matriz quadrada de ordem n formada pelas n primeiras colunas de A, e N a matriz das n-m últimas colunas de A. Tomemos x=[lxB xN], onde xB é formado pelas n primeiras entradas de x e xN formado pelas n-m últimas entradas de x. O sistema A x=b pode ser então escrito como
B xB+N xN=b
(b) Se B for inversível, mostre que x=[cB^-1 b-B^-1 N xN xN] é solução do sistema A x=b, para qualquer xN escolhido.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, quando B é inversível, a escolha
x = xB xN = B^-1b-B^-1N,xN xN
é de fato solução do sistema
Ax=b,
sabendo que A=[B;N] e x=[xB;,xN]. Vamos usar a propriedade de inversibilidade de B e simplesmente verificar que, ao substituir, a igualdade se satisfaz.

Passo 2

Como B é inversível, podemos reescrever
B,xB + N,xN = b
multiplicando à esquerda por B^-1. Obtém-se
xB + B^-1N,xN = B^-1b,
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xB = B^-1b - B^-1N,xN

Passo 3

Agora definimos
x = xB xN = B^-1b-B^-1N,xN xN
Ao calcular Ax temos
Ax = B,xB + N,xN = Bl(B^-1b-B^-1N,xNr) + N,xN
Pelo fato de B,B^-1 = I, isso é
b - N,xN + N,xN = b
Portanto a igualdade Ax=b fica satisfeita.

Resposta

x ;=; B^-1b-B^-1N,xN xN é solução de Ax=b, éçã
para qualquer escolha de xN.

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