Determine o núcleo e a imagem das transformações lineares a seguir.
definida por
Passo 1
O enunciado define a aplicação linear
Pede-se o núcleo e a imagem de
. Para isso vamos usar duas ideias padrão de transformações lineares:
- O núcleo é o conjunto de
tais que , ou seja, resolver um sistema homogêneo. - A imagem é o subespaço gerado pelas colunas da matriz de
, isto é, pelo span de e .
Passo 2
Para achar o núcleo de
resolvemos
Isso gera o sistema
Daí
e
satisfazem todas as equações simultaneamente. Logo
Passo 3
Para a imagem, calculamos imagens dos vetores canônicos:
Como toda aplicação linear envia qualquer
em
segue que
Esses dois vetores são linearmente independentes (não há escalares
não nulos com
), portanto
é um plano de dimensão 2 em
.