Determine o núcleo e a imagem das transformações lineares a seguir.
T: R^2 R^3 definida por T(x, y)=(2 x, 3 y, x+y)

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear
Tcolon R^2 to R^3, T(x,y) = (2x,,3y,,x+y)
Pede-se o núcleo e a imagem de T. Para isso vamos usar duas ideias padrão de transformações lineares:
  1. O núcleo é o conjunto de (x,y) tais que T(x,y)=(0,0,0), ou seja, resolver um sistema homogêneo.
  2. A imagem é o subespaço gerado pelas colunas da matriz de T, isto é, pelo span de T(e1) e T(e2).

Passo 2

Para achar o núcleo de T resolvemos
T(x,y) = (2x,3y,x+y) = (0,0,0)
Isso gera o sistema
2x = 0, 3y = 0, x + y = 0
Daí x=0 e y=0 satisfazem todas as equações simultaneamente. Logo
ker(T) = (0,0)

Passo 3

Para a imagem, calculamos imagens dos vetores canônicos:
T(1,0) = (2,0,1), T(0,1) = (0,3,1)
Como toda aplicação linear envia qualquer (x,y) em
T(x,y) = x,T(1,0) + y,T(0,1),
segue que
Im(T) = spanl(2,0,1),,(0,3,1)r
Esses dois vetores são linearmente independentes (não há escalares alpha,beta não nulos com alpha(2,0,1)+beta(0,3,1)=(0,0,0)), portanto Im(T) é um plano de dimensão 2 em R^3.

Resposta

ker(T)=(0,0)
Im(T)=span(2,0,1),(0,3,1)

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