(Álgebra básica do método simplex para resolução de problemas de otimização linear) Considere um sistema linear A x=b, onde A é matriz m times n com m<n. Escrevemos A=[llB & N], onde B é a matriz quadrada de ordem n formada pelas n primeiras colunas de A, e N a matriz das n-m últimas colunas de A. Tomemos x=[lxB xN], onde xB é formado pelas n primeiras entradas de x e xN formado pelas n-m últimas entradas de x. O sistema A x=b pode ser então escrito como
B xB+N xN=b
(c) Encontre uma solução básica do sistema abaixo identificando as matrizes B, N, usando o item anterior, e fazendo xN=0 :
rrr 2 x1 & & +2 x4+25 x5 & =2 & -x2 & -13 x4-11 x5 & & x3-x4+8 x5 =3

Passo 1

O enunciado pede uma solução básica do sistema
2x1+2x4+25x5=2, -,x2-13x4-11x5=0, x3-x4+8x5=3
pela álgebra do método simplex, isto é, escrevendo A=[ B; N], tomando xB das variáveis básicas e xN das não-básicas e impondo xN=0.

Passo 2

Escolhemos como variáveis básicas (x1,x2,x3) e como não-básicas (x4,x5).
Então
B= 2&0&0 0&-1&0 0&0&1 , N= 2&25 -13&-11 -1&8 , b=203

Passo 3

O sistema reescreve-se como
B, xB;+; N, xN ;=; b

Passo 4

Impondo xN=0 (isto é, x4=x5=0), a equação fica
B, xB= b
Como B é triangular, resolvemos de cima para baixo:
2x1=2;Rightarrow;x1=1, -,x2=0;Rightarrow;x2=0, x3=3

Passo 5

Portanto a solução básica (com x4=x5=0) é
(x1,x2,x3,x4,x5) =(1,0,3,0,0)

Resposta

A solução básica obtida é
(x1,x2,x3,x4,x5)=(1,0,3,0,0)

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