Ex. 138 - Se sempre tomarmos o módulo do determinante de uma matriz, teremos uma função que dá o volume sem sinal - seria então diferente da função determinante que desenvolvemos neste Capítulo. Explique porque esta função não é uma função determinante, e não contradiz, portanto, a unicidade da função determinante.

Passo 1

O enunciado propõe a função
f(A)=l|det(A)r|
que mede o “volume sem sinal” de uma matriz A. Queremos explicar por que f não é uma função determinante (isto é, não satisfaz as mesmas propriedades que a função determinante que estudamos), e por isso não entra em contradição com o teorema de unicidade da função determinante.

Passo 2

Lembrando a definição de função determinante: uma aplicação g que associa a cada matriz quadrada A um número g(A) é o determinante se, e somente se, satisfaz três propriedades:
  1. multilinearidade nas colunas;
  2. alternância (se duas colunas são iguais, g(A)=0, ou equivalentemente, trocar duas colunas muda o sinal de g(A));
  3. normalização ( g(I)=1, onde I é a matriz identidade).

Passo 3

Mostramos que f não é multilinear. De fato, se multiplicarmos uma coluna de A por um escalar c, a multilinearidade exigiria
g(c,coluna,dots)=c,g(coluna,dots)
Mas para f temos
f(cA)=l|det(cA)r|=l|c,det(A)r|=|c|,l|det(A)r|=|c|,f(A),
e |c|,f(A)neq c,f(A) sempre que c<0. Logo a propriedade de linearidade em cada coluna falha.

Passo 4

Além disso, f não é alternante no sentido de trocar colunas, pois se permutarmos duas colunas de A o determinante muda de sinal, mas
f(matriz com colunas trocadas) =l|det(matriz com colunas trocadas)r| =l|-det(A)r| =l|det(A)r| =f(A)
Isto contradiz a exigência de que trocar duas colunas deve enviar g(A) em -g(A).

Passo 5

Como f não satisfaz as propriedades de multilinearidade e alternância exigidas para ser uma função determinante, f não é uma “outra” função determinante. Portanto, não há contradição com o teorema que garante a unicidade da função determinante.

Resposta

A função f(A)=|det(A)| falha em ser multilinear e alternante nas colunas, logo não é uma função determinante e não viola o teorema de unicidade.

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