Ex. 140 - O triângulo de Pascal pode ser definido da seguinte forma:
-Na primeira linha temos " 1 ".
-Nas linhas seguintes, cada elemento é a soma do elemento acima dele com o que está acima e à esquerda.
-1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1464 1
O triângulo de Pascal pode ser naturalmente disposto na forma de matriz. Podemos, pode exemplo, definir
as matrizes e .
a) Prove que det Pn=1.
b) Prove que se a matriz K tem todas as entradas iguais a um valor k, det(Pn+K)=1+k.
c) Mostre que as matrizes Pn são parte de uma família de matrizes tais que det(A+K) pode ser calculado com apenas três operações aritméticas, desde que se conheça det A.
Passo 1
O enunciado define, para cada n, a matriz de Pascal
Pn = Bn,Cn,
onde Bn é triangular inferior com todos os “1” na diagonal e Cn é triangular superior também com “1” na diagonal. Pede-se:
a) Mostrar que det Pn=1.
b) Mostrar que, se K é a matriz cujas entradas são todas iguais a um escalar k, então
detl(Pn+Kr)=1+k
c) Generalizar, exibindo que existe uma família de matrizes A tais que, conhecendo apenas det A, podemos obter det(A+K) com apenas três operações aritméticas.
Para resolver precisamos usar:
– Propriedade de determinante de produto de matrizes triangulares.
– Fato de que K=kJ (onde J é a matriz de todos uns) tem posto 1, de onde det(P+kJ) é polinomial em k de grau no máximo 1.
– Cálculo de dois valores de det(P+kJ) para determinar esse polinômio.
Passo 2
Prova de det Pn=1.
Como
Pn=Bn,Cn,
temos
det Pn = det Bn;det Cn
Mas Bn é triangular inferior e todos os elementos da diagonal são 1, logo det Bn=1. De modo análogo, Cn é triangular superior com diagonal inteira igual a 1, então det Cn=1. Portanto
det Pn = 1cdot1 = 1
Passo 3
Prova de detl(Pn+Kr)=1+k.
Note que K=kJ, onde J é a matriz de posto 1 com todas as entradas iguais a 1. Assim cada entrada de Pn+kJ é uma função afim de k, e por causa do posto de J a função
f(k)=detl(Pn+kJr)
é um polinômio em k de grau no máximo 1. Logo podemos escrever
f(k)=a + b,k
Para encontrar a e b, basta usar dois valores de k:
– Em k=0, temos f(0)=det Pn=1. Logo a=1.
– Em k=-1, ficamos com Pn-J. Observe que a primeira linha de Pn é (1,1,dots,1) e a de J também, então a primeira linha de Pn-J é nula. Logo
f(-1)=detl(Pn-Jr)=0
Isso dá
0 = f(-1)=1 + b,(-1)Longrightarrow b=1
Portanto
detl(Pn+Kr) = f(k) = 1 + k
Passo 4
Generalização para a família de matrizes A.
Seja A invertível e K=kJ como antes. Pelo lema da atualização de posto um (ou pelo mesmo argumento de grau de polinômio),
det(A+kJ)=det A,l(1 + k,e^TA^-1er),
onde e=(1,1,dots,1)^T. Suponha que, para a matriz A, conheçamos
s = e^TA^-1e
Então basta fazer as seguintes operações para obter det(A+kJ):
Calcular k,s.
Somar 1 + (k,s).
Multiplicar det A por esse resultado.
Ou seja, somente três operações aritméticas além do valor conhecido det A.
Resposta
a) det Pn=1.
b) detl(Pn+Kr)=1+k.
c) Para qualquer matriz invertível A em que se conheça s=e^TA^-1e, vale
det(A+kJ)=det A,(1+k,s),
de modo que, conhecendo apenas det A e s, são necessárias só três operações aritméticas para obter det(A+kJ).
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Jerônimo c. Pellegrini - Álgebra Linear - 130ª Edição - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 140