Ex. 141 - Na definição informal de orientação em R^3, alinhamos o último vetor da base com e3. Mostre que se tivéssemos alinhado com qualquer vetor não-nulo, as bases com orientação concordante seriam as mesmas.

Passo 1

O enunciado usa a definição informal de orientação em R^3: dizemos que uma base ordenada (v1,v2,v3) é positiva (ou concordante) se, ao “alinhar” o terceiro vetor v3 com o vetor canônico e3 e projetar (v1,v2) no plano x3=0, esses dois vetores formam uma base com orientação positiva naquele plano. Queremos mostrar que, se em vez de e3 usássemos qualquer vetor não nulo w, o conjunto de bases concordantes permaneceria o mesmo.

Passo 2

Seja wneq0. Definimos análogamente: chamamos (v1,v2,v3) de positiva relativa a w se, ao alinhar v3 com w e projetar (v1,v2) no plano perpendicular a w, esses vetores formam uma base orientada positivamente nesse plano. Nosso objetivo é provar que uma base é positiva segundo e3 se, e somente se, é positiva segundo w.

Passo 3

Como wneq0, existe uma transformação ortogonal especial
Rin SO(3),
isto é, uma rotação tal que
R( e3);=; w| w|
Por ter det R=1, essa rotação preserva totalmente a orientação em R^3. Agora observe:
  • Se (v1,v2,v3) é positiva relativa a w, então, aplicando R^-1, o vetor v3 alinha-se em R^-1(v3) com e3, e a projeção de l(R^-1v1,R^-1v2r) no plano x3=0 fica positiva. Logo l(R^-1v1,R^-1v2,R^-1v3r) é positiva relativa a e3.
  • Como det R^-1=1, aplicar R^-1 não muda o sinal da orientação. Portanto (v1,v2,v3) e l(R^-1v1,R^-1v2,R^-1v3r) têm sempre a mesma classificação (positiva ou negativa).

Passo 4

Dessa forma, (v1,v2,v3) é positiva segundo w exatamente quando é positiva segundo e3. Concluímos que a escolha de qual vetor não-nulo usar para o alinhamento não altera o conjunto de bases concordantes.

Resposta

O conjunto de bases com orientação concordante é o mesmo, quaisquer que sejam os vetores não-nulos escolhidos para o alinhamento do terceiro vetor.

Exercícios de Livros Relacionados