Ex. 141 - Na definição informal de orientação em
, alinhamos o último vetor da base com
. Mostre que se tivéssemos alinhado com qualquer vetor não-nulo, as bases com orientação concordante seriam as mesmas.
Passo 1
O enunciado usa a definição informal de orientação em
: dizemos que uma base ordenada
é positiva (ou concordante) se, ao “alinhar” o terceiro vetor
com o vetor canônico
e projetar
no plano
, esses dois vetores formam uma base com orientação positiva naquele plano. Queremos mostrar que, se em vez de
usássemos qualquer vetor não nulo
, o conjunto de bases concordantes permaneceria o mesmo.
Passo 2
Seja
. Definimos análogamente: chamamos
de positiva relativa a
se, ao alinhar
com
e projetar
no plano perpendicular a
, esses vetores formam uma base orientada positivamente nesse plano. Nosso objetivo é provar que uma base é positiva segundo
se, e somente se, é positiva segundo
.
Passo 3
Como
, existe uma transformação ortogonal especial
isto é, uma rotação tal que
Por ter
, essa rotação preserva totalmente a orientação em
. Agora observe:
- Se
é positiva relativa a , então, aplicando , o vetor alinha-se em com , e a projeção de no plano fica positiva. Logo é positiva relativa a . - Como
, aplicar não muda o sinal da orientação. Portanto e têm sempre a mesma classificação (positiva ou negativa).
Passo 4
Dessa forma,
é positiva segundo
exatamente quando é positiva segundo
. Concluímos que a escolha de qual vetor não-nulo usar para o alinhamento não altera o conjunto de bases concordantes.
Resposta
O conjunto de bases com orientação concordante é o mesmo, quaisquer que sejam os vetores não-nulos escolhidos para o alinhamento do terceiro vetor.