Ache, na base 10, critérios de divisibilidade por
(a) 4, 25 e 100;
(b) 8,125 e 1000;
(c) generalize.

Passo 1

O enunciado pede os critérios de divisibilidade em base 10 para os números 4, 25, 100 (item a), 8, 125, 1000 (item b) e, por fim, uma generalização (item c). O conteúdo principal é usar a representação de um número na base 10 e a propriedade de que, se um divisor d divide 10^k, então basta olhar os últimos k dígitos.

Passo 2

Em base 10, ao dividir um número n por 100 escrevemos n como
n = 100q + r
onde r são os dois últimos dígitos de n ( 0 <= r <= 99). Assim, para quaisquer d que divida 100, temos n equiv r pmod d. Portanto:
  • Para 4 (como 4mid100), n é divisível por 4 se e somente se os dois últimos dígitos ® forem divisíveis por 4.
  • Para 25 (como 25mid100), n é divisível por 25 se e somente se os dois últimos dígitos forem 00, 25, 50 ou 75.
  • Para 100 ( 100=10^2), n é divisível por 100 se e somente se os dois últimos dígitos forem 00.

Passo 3

De modo análogo, ao dividir n por 1000 escrevemos n como
n = 1000Q + s
onde s são os três últimos dígitos de n ( 0 <= s <= 999). Para qualquer d que divida 1000:
  • Para 8 ( 8mid1000), n é divisível por 8 se e somente se os três últimos dígitos (s) forem divisíveis por 8.
  • Para 125 ( 125mid1000), n é divisível por 125 se e somente se os três últimos dígitos forem 000, 125, 250, 375, 500, 625, 750 ou 875.
  • Para 1000 ( 1000=10^3), n é divisível por 1000 se e somente se os três últimos dígitos forem 000.

Passo 4

Generalizando, num sistema de base b um inteiro n é divisível por qualquer d que divida b^k se e somente se os k últimos dígitos de n, isto é, o resto r ao dividir por b^k em
n = b^k cdot m + r,
for divisível por d. Em particular, em base b=10 isso explica todos os casos anteriores. O critério vale para qualquer k e qualquer d|10^k.

Resposta

a) Divisibilidade por 4: os dois últimos dígitos formam um número divisível por 4. Por 25: os dois últimos dígitos são 00, 25, 50 ou 75. Por 100: os dois últimos dígitos são 00.
b) Divisibilidade por 8: os três últimos dígitos formam um número divisível por 8. Por 125: os três últimos dígitos são 000, 125, 250, 375, 500, 625, 750 ou 875. Por 1000: os três últimos dígitos são 000.
c) Em base 10, para qualquer d que divida 10^k, basta verificar se os k últimos dígitos do número formam um número divisível por d.

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