Ache, na base 10, critérios de divisibilidade por
(a) 4, 25 e 100;
(b) 8,125 e 1000;
(c) generalize.
(a) 4, 25 e 100;
(b) 8,125 e 1000;
(c) generalize.
Passo 1
O enunciado pede os critérios de divisibilidade em base 10 para os números 4, 25, 100 (item a), 8, 125, 1000 (item b) e, por fim, uma generalização (item c). O conteúdo principal é usar a representação de um número na base 10 e a propriedade de que, se um divisor d divide 10^k, então basta olhar os últimos k dígitos.
Passo 2
Em base 10, ao dividir um número n por 100 escrevemos n como
onde r são os dois últimos dígitos de n (
). Assim, para quaisquer d que divida 100, temos
. Portanto:
- Para 4 (como
), n é divisível por 4 se e somente se os dois últimos dígitos ® forem divisíveis por 4. - Para 25 (como
), n é divisível por 25 se e somente se os dois últimos dígitos forem 00, 25, 50 ou 75. - Para 100 (
), n é divisível por 100 se e somente se os dois últimos dígitos forem 00.
Passo 3
De modo análogo, ao dividir n por 1000 escrevemos n como
onde s são os três últimos dígitos de n (
). Para qualquer d que divida 1000:
- Para 8 (
), n é divisível por 8 se e somente se os três últimos dígitos (s) forem divisíveis por 8. - Para 125 (
), n é divisível por 125 se e somente se os três últimos dígitos forem 000, 125, 250, 375, 500, 625, 750 ou 875. - Para 1000 (
), n é divisível por 1000 se e somente se os três últimos dígitos forem 000.
Passo 4
Generalizando, num sistema de base b um inteiro n é divisível por qualquer d que divida b^k se e somente se os k últimos dígitos de n, isto é, o resto r ao dividir por b^k em
for divisível por d. Em particular, em base b=10 isso explica todos os casos anteriores. O critério vale para qualquer k e qualquer d|10^k.
Resposta
a) Divisibilidade por 4: os dois últimos dígitos formam um número divisível por 4. Por 25: os dois últimos dígitos são 00, 25, 50 ou 75. Por 100: os dois últimos dígitos são 00.
b) Divisibilidade por 8: os três últimos dígitos formam um número divisível por 8. Por 125: os três últimos dígitos são 000, 125, 250, 375, 500, 625, 750 ou 875. Por 1000: os três últimos dígitos são 000.
c) Em base 10, para qualquer d que divida 10^k, basta verificar se os k últimos dígitos do número formam um número divisível por d.
b) Divisibilidade por 8: os três últimos dígitos formam um número divisível por 8. Por 125: os três últimos dígitos são 000, 125, 250, 375, 500, 625, 750 ou 875. Por 1000: os três últimos dígitos são 000.
c) Em base 10, para qualquer d que divida 10^k, basta verificar se os k últimos dígitos do número formam um número divisível por d.