Ache uma base para o núcleo de cada uma das transformações lineares a seguir:
B: R^4 R^5, B(x, y, z, t)=(2 x-2 z+4 t, x-2 z+3 t, 4 y+2 z+
t, 6 x+4 y-4 z+13 t, 2 x+4 y-2 z+7 t)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base do núcleo (espaço nulo) da transformação linear B: ℝ⁴ → ℝ⁵ definida por B(x,y,z,t) = (2x−2z+4t, x−2z+3t, 4y+2z+t, 6x+4y−4z+13t, 2x+4y−2z+7t). Para isso, vamos usar a teoria de sistemas lineares homogêneos e eliminação de Gauss para resolver B(x,y,z,t)=0.

Passo 2

Escrevemos as cinco equações homogêneas B(x,y,z,t)=0 e montamos a matriz aumentada correspondente:
[cccc|c 2 & 0 & -2 & 4 & 0 1 & 0 & -2 & 3 & 0 0 & 4 & 2 & 1 & 0 6 & 4 & -4 & 13 & 0 2 & 4 & -2 & 7 & 0 ]

Passo 3

Aplicamos eliminação de Gauss focando primeiro na coluna de x: trocamos R₁ com R₂ para ter pivô 1 em x, depois zeramos x nas outras linhas. Obtemos:
[cccc|c 1 & 0 & -2 & 3 & 0 0 & 0 & 2 & -2 & 0 0 & 4 & 2 & 1 & 0 0 & 4 & 8 & -5 & 0 0 & 4 & 2 & 1 & 0 ]

Passo 4

Em seguida, escolhemos R₃ para pivô em y (dividindo-a por 4) e eliminamos y de R₄ e R₅. Depois dividimos R₂ por 2 para ter pivô em z e eliminamos z de R₄. A forma escalonada fica:
[cccc|c 1 & 0 & -2 & 3 & 0 0 & 0 & 1 & -1 & 0 0 & 1 & tfrac12 & tfrac14 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 5

Da forma escalonada extraímos as equações:
x - 2z + 3t = 0, z - t = 0, y + tfrac12 z + tfrac14 t = 0
Tomando t = s livre, temos z = s, y = -\tfrac34 s e x = -s. Logo todo vetor do núcleo é s(-1, -\tfrac34, 1, 1). Para evitar frações, multiplicamos por 4 e obtemos (-4, -3, 4, 4), que gera o núcleo.

Resposta

Uma base para o núcleo de B é (-4, -3, 4, 4).

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