Ache uma base para o núcleo de cada uma das transformações lineares a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma base do núcleo (espaço nulo) da transformação linear B: ℝ⁴ → ℝ⁵ definida por B(x,y,z,t) = (2x−2z+4t, x−2z+3t, 4y+2z+t, 6x+4y−4z+13t, 2x+4y−2z+7t). Para isso, vamos usar a teoria de sistemas lineares homogêneos e eliminação de Gauss para resolver B(x,y,z,t)=0.
Passo 2
Escrevemos as cinco equações homogêneas B(x,y,z,t)=0 e montamos a matriz aumentada correspondente:
Passo 3
Aplicamos eliminação de Gauss focando primeiro na coluna de x: trocamos R₁ com R₂ para ter pivô 1 em x, depois zeramos x nas outras linhas. Obtemos:
Em seguida, escolhemos R₃ para pivô em y (dividindo-a por 4) e eliminamos y de R₄ e R₅. Depois dividimos R₂ por 2 para ter pivô em z e eliminamos z de R₄. A forma escalonada fica:
x - 2z + 3t = 0, z - t = 0, y + tfrac12 z + tfrac14 t = 0
Tomando t = s livre, temos z = s, y = -\tfrac34 s e x = -s. Logo todo vetor do núcleo é s(-1, -\tfrac34, 1, 1). Para evitar frações, multiplicamos por 4 e obtemos (-4, -3, 4, 4), que gera o núcleo.
Resposta
Uma base para o núcleo de B é (-4, -3, 4, 4).
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Elon Lages Lima - Algebra Linear - 1ª Edição - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 9.13.b