Ache a matriz, na base u1, u2, u3, u4, da projeção P: R^4 R^4, P(x, y, z, t)=(x, y, 0,0), sabendo que u1=(2,0,3,4), u2=(1,1,4,2), u3=(3,2,2,0) e u4=(0,3,0,1). [Sugestão: use eliminação gaussiana para exprimir e1, e2, e3 e e4 como combinações lineares de u1, u2, u3 e u4.]

Passo 1

O enunciado pede a matriz de representação da projeção linear P: R^4to R^4, definida por P(x,y,z,t)=(x,y,0,0), na base B=u1,u2,u3,u4, onde
u1=(2,0,3,4), u2=(1,1,4,2), u3=(3,2,2,0), u4=(0,3,0,1)

Passo 2

Para representar P na base B, basta calcular P(uj) e expressar cada P(uj) como combinação linear de u1,u2,u3,u4. Se montarmos a matriz
U=2&1&3&00&1&2&33&4&2&04&2&0&1,
o sistema
U,a^(j)=b^(j),
onde b^(j)=P(uj), terá como solução o vetor de coordenadas a^(j), que é a j-ésima coluna da matriz procurada.

Passo 3

Calculamos as imagens:
P(u1)=(2,0,0,0), P(u2)=(1,1,0,0), P(u3)=(3,2,0,0), P(u4)=(0,3,0,0)
Assim, montamos o sistema aumentado [Umid b^(1),b^(2),b^(3),b^(4)] e aplicamos eliminação de Gauss.

Passo 4

Ao aplicar eliminação de Gauss (pivô em c1,c2,c3,c4) seguido de substituição reversa, obtemos para cada j as coordenadas
a^(1)=l(tfrac1235,-tfrac47,tfrac2235,-tfrac835r), a^(2)=l(tfrac8105,-tfrac521,tfrac38105,tfrac635r),
a^(3)=l(tfrac34105,-tfrac1621,tfrac109105,tfrac835r), a^(4)=l(-tfrac27,tfrac17,tfrac17,tfrac67r)

Passo 5

Com essas colunas, a matriz de P na base B é formada por
[P] B= tfrac1235 & tfrac8105 & tfrac34105 & -tfrac27 -tfrac47 & -tfrac521 & -tfrac1621 & tfrac17 tfrac2235 & tfrac38105& tfrac109105& tfrac17 -tfrac835 & tfrac18105 & tfrac24105 & tfrac67

Resposta

[P] B= tfrac1235 & tfrac8105 & tfrac34105 & -tfrac27 -tfrac47 & -tfrac521 & -tfrac1621 & tfrac17 tfrac2235 & tfrac38105& tfrac109105& tfrac17 -tfrac835 & tfrac18105 & tfrac24105 & tfrac67

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