Ache uma base para o núcleo de cada uma das transformações lineares a seguir:
C: R^4 R^3, C(x, y, z, t)=(2 x+y-z+3 t, x-4 y+2 z+t, 2 y+4 z-t).

Passo 1

Estamos com a transformação linear C:R^4toR^3 dada por C(x,y,z,t)=(2x+y-z+3t,;x-4y+2z+t,;2y+4z-t). O que precisamos achar é uma base do núcleo de C, ou seja, todos os vetores (x,y,z,t) tais que C(x,y,z,t)=0.

Passo 2

Primeiro escrevemos o sistema de equações obtido de C(x,y,z,t)=0:
2x + y - z + 3t = 0
x - 4y + 2z + t = 0
2y + 4z - t = 0

Passo 3

Para simplificar, usamos a primeira equação para eliminar x da segunda. Da segunda equação subtraímos metade da primeira: isso gera
-9y + 5z - t = 0
A terceira equação fica
2y + 4z - t = 0

Passo 4

Agora isolamos t em cada uma:
t = -9y + 5z
t = 2y + 4z

Passo 5

Igualando as duas expressões de t temos
-9y + 5z = 2y + 4z
o que dá
-11y = -z z = 11y

Passo 6

Substituindo em t=2y+4z obtemos
t = 2y + 4,l(11yr) = 46y

Passo 7

Finalmente, voltamos à primeira equação 2x + y - z + 3t = 0 e substituímos z=11y e t=46y:
2x + y - 11y + 3,(46y) = 0
2x + 128y = 0 x = -64y

Passo 8

Logo todo vetor do núcleo tem a forma
(x,y,z,t) = y,(-64,1,11,46), yinR

Resposta

Uma base para o núcleo de C é (-64,1,11,46).

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