Ache uma base para o núcleo de cada uma das transformações lineares a seguir:
.
Passo 1
Estamos com a transformação linear
dada por
. O que precisamos achar é uma base do núcleo de
, ou seja, todos os vetores
tais que
.
Passo 2
Primeiro escrevemos o sistema de equações obtido de
:
Passo 3
Para simplificar, usamos a primeira equação para eliminar
da segunda. Da segunda equação subtraímos metade da primeira: isso gera
A terceira equação fica
Passo 4
Agora isolamos
em cada uma:
Passo 5
Igualando as duas expressões de
temos
o que dá
Passo 6
Substituindo em
obtemos
Passo 7
Finalmente, voltamos à primeira equação
e substituímos
e
:
Passo 8
Logo todo vetor do núcleo tem a forma
Resposta
Uma base para o núcleo de
é
.