Exiba uma base para a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo e determine seu posto.
A: R^4 R^3, A(x, y, z, t)=(x+2 y-t, 2 x-z+2 t,-2 x+y+3 z)

Passo 1

Estamos lidando com a transformação linear A: R^4to R^3 dada por A(x,y,z,t)=(x+2y-t,;2x-z+2t,;-2x+y+3z). O objetivo é encontrar uma base do espaço imagem Im(A) e determinar o posto (dimensão dessa imagem).

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz de A em relação às bases canônicas de R^4 e R^3. Para isso, calculamos A(e1),A(e2),A(e3),A(e4):
A(e1)=A(1,0,0,0)=(1,2,-2),
A(e2)=A(0,1,0,0)=(2,0,1),
A(e3)=A(0,0,1,0)=(0,-1,3),
A(e4)=A(0,0,0,1)=(-1,2,0)
Logo, a matriz de A é
M= 1 & 2 & 0 & -1 2 & 0 & -1 & 2 -2 & 1 & 3 & 0

Passo 3

Agora precisamos encontrar quais colunas de M são linearmente independentes. Aplicamos eliminação de Gauss:
1 & 2 & 0 & -1 2 & 0 & -1 & 2 -2 & 1 & 3 & 0 xrightarrowR2-2R1,;R3+2R1 1 & 2 & 0 & -1 0 & -4 & -1 & 4 0 & 5 & 3 & -2 xrightarrowR3+tfrac54R2 1 & 2 & 0 & -1 0 & -4 & -1 & 4 0 & 0 & tfrac74 & 3
Vemos pivôs em colunas 1, 2 e 3, indicando que as três primeiras colunas são independentes e a quarta é combinação linear delas.

Passo 4

Portanto, uma base para Im(A) é obtida pelos vetores correspondentes às colunas pivô de M, ou seja:
(1,2,-2),;(2,0,1),;(0,-1,3)
Como há três vetores independentes, o posto de A é 3.

Passo 5

Observação teórica: o posto de uma transformação linear é a dimensão de sua imagem, que aqui coincide com o número de colunas independentes da matriz associada.

Resposta

Uma base de Im (A) é (1,2,-2),,(2,0,1),,(0,-1,3) e o posto de A é 3.

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