Ache uma matriz ortogonal 4 times 4 cujos elementos são todos da forma pm 12.

Passo 1

Enunciado e conteúdo: precisamos encontrar uma matriz ortogonal de ordem 4 cujos elementos são todos pmtfrac12. O tema aqui é matrizes ortogonais, ou seja, linhas (ou colunas) formam um sistema de vetores ortonormais em R^4. Para isso, cada linha deve ter norma 1 e produto escalar zero com as demais.

Passo 2

Norma de uma linha com entradas pmtfrac12: se uma linha v=(v1,dots,v4) tem cada vi=pmtfrac12, então
|v|=raiz4timesl(tfrac12r)^2=1
Logo, só falta garantir que produtos escalares de linhas distintas sejam nulos.

Passo 3

Condição de ortogonalidade: para duas linhas v e w com entradas pmtfrac12, digamos que coincidam em k posições e discordem em 4-k. Então
vcdot w=(k-(4-k))timestfrac14=2k-44
Para isso ser zero, precisamos de 2k-4=0, ou seja, k=2. Precisamos de exatamente duas entradas iguais e duas opostas em cada par de linhas.

Passo 4

Construção via matriz de Hadamard: a matriz
H= 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & -1 & -1 1 & -1 & 1 & -1 1 & -1 & -1 & 1
é uma matriz de Hadamard de ordem 4. Dividindo-a por 2, obtemos uma matriz com entradas pmtfrac12 e linhas mutuamente ortogonais.

Passo 5

Verificação rápida: cada linha de M=tfrac12H tem norma 1 (como já vimos) e o produto escalar entre quaisquer duas linhas distintas é zero (porque em H cada par de linhas tem exatamente duas coincidências e duas discordâncias, garantindo vcdot w=0). Portanto M é ortogonal.

Resposta

Uma matriz ortogonal 4×4 com entradas pmtfrac12 é
12 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & -1 & -1 1 & -1 & 1 & -1 1 & -1 & -1 & 1

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