Ache uma matriz ortogonal cujos elementos são todos da forma .
Passo 1
Enunciado e conteúdo: precisamos encontrar uma matriz ortogonal de ordem 4 cujos elementos são todos . O tema aqui é matrizes ortogonais, ou seja, linhas (ou colunas) formam um sistema de vetores ortonormais em . Para isso, cada linha deve ter norma 1 e produto escalar zero com as demais.
Passo 2
Norma de uma linha com entradas : se uma linha tem cada , então
Logo, só falta garantir que produtos escalares de linhas distintas sejam nulos.
Passo 3
Condição de ortogonalidade: para duas linhas e com entradas , digamos que coincidam em posições e discordem em . Então
Para isso ser zero, precisamos de , ou seja, . Precisamos de exatamente duas entradas iguais e duas opostas em cada par de linhas.
Passo 4
Construção via matriz de Hadamard: a matriz
é uma matriz de Hadamard de ordem 4. Dividindo-a por 2, obtemos uma matriz com entradas pmtfrac12 e linhas mutuamente ortogonais.
Passo 5
Verificação rápida: cada linha de M=tfrac12H tem norma 1 (como já vimos) e o produto escalar entre quaisquer duas linhas distintas é zero (porque em H cada par de linhas tem exatamente duas coincidências e duas discordâncias, garantindo vcdot w=0). Portanto M é ortogonal.