Um operador auto-adjunto N: E E chama-se negativo quando lang<=N v, vrang<=<0 para todo v neq 0 em E. Determine a (única) decomposição polar de um operador negativo N .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a decomposição polar única de um operador auto-adjunto negativo N:,Eto E, ou seja expressar N=U|N| onde |N|=raizN^*N é positivo e U é unitário.

Passo 2

Pela teoria da decomposição polar, para qualquer operador limitado T em espaço de Hilbert temos T=U|T|, com |T|=raizT^*T e U=T,|T|^-1 (quando T é inversível, então U é realmente unitário). Aqui N é auto-adjunto e estritamente negativo, então é inversível.

Passo 3

Como N é auto-adjunto temos N^*=N, logo |N|=raizN^*N=raizN^2. Além disso, por hipótese todo autovalor lambda de N satisfaz lambda<0, então em cada autovetor v vale raizN^2v=|lambda|v=-lambda v. Portanto
|N|=raizN^2=-N

Passo 4

Agora definimos U=N,|N|^-1. Como |N|=-N e N é inversível,
U=N(-N)^-1=-I,
que de fato é unitário ( (-I)^*(-I)=I). Assim obtemos
N=U|N|=(-I)(-N)

Resposta

A decomposição polar única é N=U|N|, com |N|=-N (positivo) e U=-I (unitário), pois
N=(-I)(-N)

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