Um operador auto-adjunto
chama-se negativo quando
para todo
. Determine a (única) decomposição polar de um operador negativo N .
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a decomposição polar única de um operador auto-adjunto negativo
, ou seja expressar
onde
é positivo e
é unitário.
Passo 2
Pela teoria da decomposição polar, para qualquer operador limitado
em espaço de Hilbert temos
, com
e
(quando
é inversível, então
é realmente unitário). Aqui
é auto-adjunto e estritamente negativo, então é inversível.
Passo 3
Como
é auto-adjunto temos
, logo
. Além disso, por hipótese todo autovalor
de
satisfaz
, então em cada autovetor
vale
. Portanto
Passo 4
Agora definimos
. Como
e
é inversível,
que de fato é unitário (
). Assim obtemos
Resposta
A decomposição polar única é
, com
(positivo) e
(unitário), pois