Prove que todo operador
, num espaço vetorial de dimensão finita munido de produto interno se escreve como
, onde U é ortogonal e
é não-negativo. (Faça a decomposição polar de
.)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que qualquer operador linear A em um espaço com produto interno de dimensão finita se escreve como A = U
P, onde U é ortogonal (ou unitário) e P é autoadjunto não‐negativo. O conteúdo é a decomposição polar, e vamos precisar do teorema espectral para operadores autoadjuntos positivos e da raiz quadrada única de tais operadores.
P, onde U é ortogonal (ou unitário) e P é autoadjunto não‐negativo. O conteúdo é a decomposição polar, e vamos precisar do teorema espectral para operadores autoadjuntos positivos e da raiz quadrada única de tais operadores.
Passo 2
Observe o operador adjunto A^*. Então o produto
é autoadjunto e positivo. Pelo teorema espectral existe uma única raiz quadrada autoadjunta não‐negativa
. Note que
é não‐negativo e
.
Passo 3
Definimos um operador U_1 na imagem de P por
Como
Passo 4
Pela construção temos
Esse é exatamente a decomposição polar de A^*.
Passo 5
Tomando adjunto na última igualdade obtemos
ou seja
sendo
também ortogonal (unitário) e
autoadjunto não‐negativo.
Passo 6
Portanto, chegamos à decomposição polar desejada: todo operador A se escreve como A = U
P, com U ortogonal e P não‐negativo.
P, com U ortogonal e P não‐negativo.
Resposta
A decomposição polar fica
onde
é autoadjunto não‐negativo e
é ortogonal (unitário).