Prove que todo operador A: E E, num espaço vetorial de dimensão finita munido de produto interno se escreve como A=U P, onde U é ortogonal e P é não-negativo. (Faça a decomposição polar de A^*.)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que qualquer operador linear A em um espaço com produto interno de dimensão finita se escreve como A = U
P, onde U é ortogonal (ou unitário) e P é autoadjunto não‐negativo. O conteúdo é a decomposição polar, e vamos precisar do teorema espectral para operadores autoadjuntos positivos e da raiz quadrada única de tais operadores.

Passo 2

Observe o operador adjunto A^*. Então o produto
A^*(A^*)^* ,=, A^*A
é autoadjunto e positivo. Pelo teorema espectral existe uma única raiz quadrada autoadjunta não‐negativa
P = raizA^*A
. Note que P é não‐negativo e ker P = ker A.

Passo 3

Definimos um operador U_1 na imagem de P por
U1l(P(x)r) = A^*(x), xin E
Como |P(x)|^2=lang<= A^*A x,xrang<==|A x|^2, vemos que U_1 é isométrico em Im,P. Estendemo-lo por ortonormalidade a todo E, obtendo assim um operador ortogonal (unitário) U_1.

Passo 4

Pela construção temos
A^* = U1,P
Esse é exatamente a decomposição polar de A^*.

Passo 5

Tomando adjunto na última igualdade obtemos
A = (A^*)^* = P,U1^*,
ou seja
A = U,P,
sendo U = U1^* também ortogonal (unitário) e P autoadjunto não‐negativo.

Passo 6

Portanto, chegamos à decomposição polar desejada: todo operador A se escreve como A = U
P, com U ortogonal e P não‐negativo.

Resposta

A decomposição polar fica
A = U,P,
onde
P = raizA^*A
é autoadjunto não‐negativo e
U = U1^*
é ortogonal (unitário).

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