5 Os agrônomos estimam que seja necessário
de acre para produzir alimento para uma pessoa, e que há 10 bilhões de acres aráveis no mundo. Logo, se não houver outra fonte de recursos, só poderão ser sustentadas 40 bilhões de pessoas. A população do mundo no começo de 1.980 era de 4,5 bilhōes. Supondo que a população aumente à taxa de
ao ano, e que a taxa de aumento seja proporcional ao número de pessoas, quando será atingida a população máxima?
Passo 1
O enunciado afirma que há
bilhões de acres aráveis e que cada pessoa necessita de
de acre. Logo, a população máxima sustentável é
bilhões de pessoas. Em 1980 a população era
bilhões e cresce a
ao ano, com taxa proporcional ao número de pessoas, caracterizando crescimento exponencial.
Passo 2
Modelamos o crescimento pela equação diferencial
onde a constante de proporcionalidade é
;ano
.
Passo 3
A solução dessa equação é
em que
é o tempo em anos contados desde 1980.
Passo 4
Para encontrar
tal que
, resolvemos
Tomando logaritmo natural em ambos os lados, obtemos
Passo 5
Isso significa que a população atinge 40 bilhões cerca de 109 anos após 1980, ou seja, por volta do ano
Resposta
A população máxima será atingida por volta de 2089.