5 Os agrônomos estimam que seja necessário 1 / 4 de acre para produzir alimento para uma pessoa, e que há 10 bilhões de acres aráveis no mundo. Logo, se não houver outra fonte de recursos, só poderão ser sustentadas 40 bilhões de pessoas. A população do mundo no começo de 1.980 era de 4,5 bilhōes. Supondo que a população aumente à taxa de 2 \% ao ano, e que a taxa de aumento seja proporcional ao número de pessoas, quando será atingida a população máxima?

Passo 1

O enunciado afirma que há 10 bilhões de acres aráveis e que cada pessoa necessita de 1/4 de acre. Logo, a população máxima sustentável é
\frac{10}{1/4}=40
bilhões de pessoas. Em 1980 a população era P(0)=4,5 bilhões e cresce a 2\% ao ano, com taxa proporcional ao número de pessoas, caracterizando crescimento exponencial.

Passo 2

Modelamos o crescimento pela equação diferencial
\frac{dP}{dt}=kP,
onde a constante de proporcionalidade é k=0,02;ano ^{-1}.

Passo 3

A solução dessa equação é
P(t)=P(0)e^{kt}=4,5\,e^{0,02t},
em que t é o tempo em anos contados desde 1980.

Passo 4

Para encontrar t tal que P(t)=40, resolvemos
4,5\,e^{0,02t}=40.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados, obtemos
0,02\,t=\ln\!\biggl(\frac{40}{4,5}\biggr) \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{1}{0,02}\ln\!\biggl(\frac{40}{4,5}\biggr)\approx109{,}1\text{ anos}.

Passo 5

Isso significa que a população atinge 40 bilhões cerca de 109 anos após 1980, ou seja, por volta do ano
1980 + 109 \approx 2089.

Resposta

A população máxima será atingida por volta de 2089.

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