Um arame de 40 metros será usado para construir uma cerca de um jardim retangular. Quais as dimensões do jardim, para que a sua área seja a maior possível?
Passo 1
O enunciado pede para usar um arame de 40 m como perímetro de um jardim retangular e encontrar as dimensões que maximizam a área. O conteúdo envolvido é otimização de função com restrição, e vamos usar a teoria de derivadas para identificar o máximo de uma função.
Passo 2
Como o perímetro do retângulo é fixo em 40 m, temos:
e, dividindo por 2,
Isolando a largura em função do comprimento:
Passo 3
A área do retângulo é dada por comprimento vezes largura. Substituindo a restrição, definimos a função área em função de
:
Passo 4
Para encontrar o valor de
que maximiza
, calculamos a derivada e igualamos a zero. Pela teoria de máximos e mínimos,
Passo 5
Igualando a derivada a zero para achar o ponto crítico:
Substituindo de volta em
temos
Passo 6
Portanto, o retângulo de maior área nesse caso é aquele em que ambos os lados medem 10 m.
Resposta
O jardim deve ser um quadrado de 10 m × 10 m.