Um arame de 40 metros será usado para construir uma cerca de um jardim retangular. Quais as dimensões do jardim, para que a sua área seja a maior possível?

Passo 1

O enunciado pede para usar um arame de 40 m como perímetro de um jardim retangular e encontrar as dimensões que maximizam a área. O conteúdo envolvido é otimização de função com restrição, e vamos usar a teoria de derivadas para identificar o máximo de uma função.

Passo 2

Como o perímetro do retângulo é fixo em 40 m, temos:
2(l + w) = 40
e, dividindo por 2,
l + w = 20
Isolando a largura em função do comprimento:
w = 20 - l

Passo 3

A área do retângulo é dada por comprimento vezes largura. Substituindo a restrição, definimos a função área em função de l:
A(l) = l , w = l(20 - l) = 20l - l^2

Passo 4

Para encontrar o valor de l que maximiza A(l), calculamos a derivada e igualamos a zero. Pela teoria de máximos e mínimos,
A'(l) = ddl(20l - l^2) = 20 - 2l

Passo 5

Igualando a derivada a zero para achar o ponto crítico:
20 - 2l = 0 Rightarrow l = 10
Substituindo de volta em w = 20 - l temos
w = 20 - 10 = 10

Passo 6

Portanto, o retângulo de maior área nesse caso é aquele em que ambos os lados medem 10 m.

Resposta

O jardim deve ser um quadrado de 10 m × 10 m.

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