Resolva as desigualdades e, usando intervalos, dê o conjunto solução:
(g) 2 x^2+3 x-2x^2-2 x-3 <= 0.

Passo 1

Estamos resolvendo a desigualdade racional 2x^2 + 3x - 2x^2 - 2x - 3 <= 0. Este é um problema de desigualdades de função racional. Para resolver, vamos fatorar numerador e denominador, encontrar pontos críticos e analisar sinais.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador. A fatoração de cada um é:
2x^2 + 3x - 2 = (2x - 1)(x + 2)
x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)

Passo 3

Os zeros do numerador vêm de 2x - 1 = 0 e x + 2 = 0, ou seja x = tfrac12 e x = -2. O denominador zera em x - 3 = 0 e x + 1 = 0, ou seja x = 3 e x = -1. Esses pontos criam as fronteiras dos intervalos.

Passo 4

Analisamos o sinal de cada fator em cada intervalo determinado pelos pontos -2, -1, tfrac12, 3. Testando um valor em cada um: em (-infty, -2) e (-1, tfrac12) a fração é positiva; em (-2, -1) e (tfrac12, 3) a fração é negativa; nos pontos x=-2 e x=tfrac12 o numerador anula a expressão (zero); em x=-1 e x=3 o denominador zera (inviável).

Passo 5

Como queremos 2x^2 + 3x - 2x^2 - 2x - 3 <= 0, incluímos os intervalos onde a expressão é negativa e os zeros do numerador, excluindo as raízes do denominador. Assim, a solução em intervalos é [-2, -1) cup [tfrac12, 3).

Resposta

[-2, -1) cup [tfrac12, 3)

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