Identifique se y assume um valor máximo ou mínimo, determine-o, e diga em que número real x0 este valor ocorre:
(a) y=-x^2+2 x+8.

Passo 1

O enunciado pede para a gente analisar a função quadrática y = -x^2 + 2x + 8, identificar se ela atinge um valor máximo ou mínimo, encontrar esse valor e dizer em que ponto x0 isso ocorre. O conteúdo aqui é função quadrática e vértice de parábola.

Passo 2

Uma função quadrática tem forma geral f(x) = ax^2 + bx + c. O vértice dessa parábola, que é o ponto de máximo ou mínimo, ocorre em x0 = -tfracb2a. Na nossa função, identificamos a = -1, b = 2 e c = 8.

Passo 3

Como a = -1 < 0, a parábola abre para baixo, o que significa que a função atinge um valor máximo (em vez de mínimo).

Passo 4

Para achar a abscissa do vértice, calculamos
x0 = -b2a = -22(-1) = 1 .
Agora, substituímos x0 = 1 na função para achar o valor máximo:
y(1) = -(1)^2 + 2cdot1 + 8 = -1 + 2 + 8 = 9 .

Resposta

A função tem valor máximo igual a 9, que ocorre em x0 = 1.

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