12.4 A área de superfície
e o volume
de uma esfera de raio
são dados por
e
. Expresse (a)
como função de
e também como função de
, (b)
como função de
e (c)
como função de
.
SOLUÇÃO
(a) De
, obtenha
De
, obtenha
(b) Denote
em
e obtenha
(c) Denote
em
e obtenha
Passo 1
Nesse exercício, a gente tem as fórmulas da área de superfície e do volume de uma esfera de raio r:
O que precisamos é: (a) isolar r em cada uma dessas, (b) escrever V como função de S e (c) escrever S como função de V. Vamos usar operações algébricas (divisão, raiz quadrada e raiz cúbica) e substituição de expressões para isso.
Passo 2
Para achar r em função de S, a gente isola r em
. Primeiro divide ambos os lados por
, depois extrai a raiz quadrada. Isso dá:
Passo 3
Para achar r em função de V, isolamos r em
. Multiplicamos ambos os lados por
e tiramos a raiz cúbica. Assim:
Passo 4
Agora vamos obter V em função de S. Substituímos
na expressão de V:
Passo 5
Por fim, para S em função de V, substituímos
em
. Isso dá:
Resposta
r(S) = \tfrac{1}{2}\sqrt{\tfrac{S}{\pi}}, r(V) = \sqrt[3]{\tfrac{3V}{4\pi}}, V(S) = \tfrac{S}{6}\sqrt{\tfrac{S}{\pi}}, S(V) = \sqrt[3]{36\pi V^2}