12.4 A área de superfície e o volume de uma esfera de raio são dados por e . Expresse (a) como função de e também como função de , (b) como função de e (c) como função de .

SOLUÇÃO

(a) De , obtenha
De , obtenha
(b) Denote
em e obtenha
(c) Denote
em e obtenha

Passo 1

Nesse exercício, a gente tem as fórmulas da área de superfície e do volume de uma esfera de raio r:
S = 4pi r^2
V = tfrac43pi r^3
O que precisamos é: (a) isolar r em cada uma dessas, (b) escrever V como função de S e (c) escrever S como função de V. Vamos usar operações algébricas (divisão, raiz quadrada e raiz cúbica) e substituição de expressões para isso.

Passo 2

Para achar r em função de S, a gente isola r em S = 4pi r^2. Primeiro divide ambos os lados por 4pi, depois extrai a raiz quadrada. Isso dá:
r = raizS4pi = 12raizSpi

Passo 3

Para achar r em função de V, isolamos r em V = tfrac43pi r^3. Multiplicamos ambos os lados por 3/(4pi) e tiramos a raiz cúbica. Assim:
r = raiz[3]3V4pi

Passo 4

Agora vamos obter V em função de S. Substituímos r = tfrac12raizS/pi na expressão de V:
V = 43pi l(12raiztfracSpir)^3 = 43pi 18 l(Spir)^3/2 = S6raizSpi

Passo 5

Por fim, para S em função de V, substituímos r = raiz[3]3V/(4pi) em S = 4pi r^2. Isso dá:
S = 4pi l(raiz[3]3V4pir)^2 = 4pi raiz[3]9V^216pi^2 = raiz[3]36pi V^2

Resposta

r(S) = \tfrac{1}{2}\sqrt{\tfrac{S}{\pi}}, r(V) = \sqrt[3]{\tfrac{3V}{4\pi}}, V(S) = \tfrac{S}{6}\sqrt{\tfrac{S}{\pi}}, S(V) = \sqrt[3]{36\pi V^2}

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