Assinale V(erdadeiro) ou F(also):
( ) Se todos os elementos de uma matriz simétrica são números positivos então essa matriz é não-negativa.
( ) O produto de operadores não-negativos é um operador não-negativo.
( ) Um operador não-negativo é positivo ou é zero.
( ) Uma matriz do tipo [ai cdot bj] é não-negativa se, e somente se, ai=bi (para todo i ).
( ) O posto de uma matriz não-negativa n times n pode ser qualquer número de 1 a n.
( ) O inverso de um operador auto-adjunto (invertível) também é auto-adjunto.
( ) Se existirem u, v in R^3 não-nulos, com A u=2 u, A v=3 v então existe uma base de autovetores para o operador linear A: R^3 R^3.
( ) Sejam lang<=rang<= ,e[, ] produtos internos definidos em R^2. Se um operador A é auto-adjunto relativamente a lang<=, rang<= então Aã também é auto-adjunto em relação a [, ].

Passo 1

O enunciado apresenta 8 afirmações sobre matrizes simétricas, operadores não-negativos, auto-adjuntos e diagonalização, e a tarefa é decidir se cada uma é verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso vamos usar conceitos de definição de operador não-negativo (positivo semidefinido), produto de operadores, propriedades espectrais e auto-adjuntidade.

Passo 2

A afirmação “Se todos os elementos de uma matriz simétrica são números positivos então essa matriz é não-negativa” é falsa. Ter todas as entradas positivas não garante que ⟨Ax,x⟩≥0 para todo x. Por exemplo,
A=0.1 & 11 & 0.1
é simétrica com entradas positivas, mas tem autovalores aproximadamente 1.1 e −0.9, logo não é semidefinida.

Passo 3

A afirmação “O produto de operadores não-negativos é um operador não-negativo” é falsa. Em geral, se A e B são positivos semidefinidos, AB pode não ser autoadjunto nem semidefinido. Por exemplo, duas projeções com imagens não alinhadas produzem um produto que pode falhar em satisfazer ⟨ABx,x⟩≥0.

Passo 4

A afirmação “Um operador não-negativo é positivo ou é zero” é falsa. Um operador não-negativo (semidefinido) pode ter núcleo não trivial e ainda não ser o operador zero, mas também não ser estritamente positivo.

Passo 5

A afirmação “Uma matriz do tipo [a_i·b_j] é não-negativa se, e somente se, a_i = b_i para todo i” é falsa. A matriz rank-1 dada por a b^T é semidefinida se e só se existe λ≥0 tal que a = λ b, não precisando λ=1. Ou seja, basta a colinearidade com fator não negativo.

Passo 6

A afirmação “O posto de uma matriz não-negativa n×n pode ser qualquer número de 1 a n” é verdadeira. Basta tomar matrizes diagonais com k autovalores iguais a 1 e os demais zero para obter posto k, para todo k=1,…,n.

Passo 7

A afirmação “O inverso de um operador auto-adjunto (invertível) também é auto-adjunto” é verdadeira. Se A=A^* e A é invertível, então A^{-1} também satisfaz (A{-1})* = (A*){-1} = A^{-1}.

Passo 8

A afirmação “Se existirem u,v∈ℝ^3 não nulos com Au=2u e Av=3v então A tem base de autovetores” é falsa no caso geral. Só com dois autovetores distintos não se garante diagonalização em ℝ^3 sem hipóteses adicionais (por exemplo, A ser auto-adjunto).

Passo 9

A afirmação “Se A é auto-adjunto numa forma interna ‹,› então A também é auto-adjunto em outra forma interna [,]” é falsa. Auto-adjuntidade depende da forma interna escolhida, e mudar a forma em geral destrói essa propriedade.

Resposta

F, F, F, F, V, V, F, F

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