Se o espaço vetorial E possui uma base formada por autovetores do operador
, prove que é possível definir em
um produto interno em relação ao qual
é auto-adjunto.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um operador diagonalizável A em E (isto é, E possui uma base formada por autovetores de A), podemos definir um produto interno em E tal que A seja auto-adjunto nesse produto.
Passo 2
Seja {v₁,v₂,…,vₙ} uma base de E composta por autovetores de A, onde A vᵢ = λᵢ vᵢ com λᵢ reais. Vamos definir um produto interno ⟨·,·⟩ em E tornando essa base ortonormal: para todo i,j definimos ⟨vᵢ,vⱼ⟩ = δᵢⱼ e estendemos bilinearmente a todo E.
Passo 3
Precisamos verificar que ⟨·,·⟩ é de fato um produto interno:
- Simetria: imediatamente ⟨x,y⟩ = ⟨y,x⟩ por construção ortonormal.
- Linearidade no primeiro argumento (e conjugada no segundo, no caso complexo): segue da extensão bilinear.
- Positividade: se x = ∑_i xᵢ vᵢ ≠ 0 então ⟨x,x⟩ = ∑_i xᵢ² > 0.
Passo 4
Para mostrar que A é auto-adjunto, basta verificar em cada par de vetores da base: como A vᵢ = λᵢ vᵢ,
- ⟨A vᵢ, vⱼ⟩ = ⟨λᵢ vᵢ, vⱼ⟩ = λᵢ ⟨vᵢ,vⱼ⟩ = λᵢ δᵢⱼ,
- ⟨vᵢ, A vⱼ⟩ = ⟨vᵢ, λⱼ vⱼ⟩ = λⱼ ⟨vᵢ,vⱼ⟩ = λⱼ δᵢⱼ.
Como δᵢⱼ = 0 para i≠j e δᵢᵢ = 1, obtém-se λᵢ δᵢⱼ = λⱼ δᵢⱼ, ou seja ⟨A vᵢ, vⱼ⟩ = ⟨vᵢ, A vⱼ⟩ para todo i,j. Por bilinearidade, isso vale para quaisquer x,y em E.
Passo 5
Concluímos que, no produto interno definido tornando a base de autovetores ortonormal, A satisfaz ⟨A x,y⟩ = ⟨x,A y⟩ para todos x,y em E, ou seja, é auto-adjunto.
Resposta
Definindo ⟨vᵢ,vⱼ⟩ = δᵢⱼ na base de autovetores e estendendo bilinearmente, obtemos um produto interno em E no qual A é auto-adjunto.