Associar cada item (I a V) a uma das afirmações (A a C):
I. u=(4,0,6) e v=(3,1,-2)
II. u=(2,1,-1) e v=(-4,-2,2)
III. u=(12,8,0) e v=(8,6,0)
IV. u=(-1,0,3) e v=(-3,0,1)
V. u=(1,1,-1) e v=(1,-2,-1)
A) u e v são paralelos
B) u e v são ortogonais
C) u e v não são paralelos, nem ortogonais

Passo 1

O enunciado apresenta cinco pares de vetores u e v em R^3 e pede para associar cada par à classificação: A) paralelos, B) ortogonais ou C) nem paralelos nem ortogonais. O conteúdo é produto escalar e teste de proporcionalidade entre vetores.

Passo 2

Para classificar dois vetores u e v usamos dois testes:
1. Paralelos: existe escalar k tal que v=k,u.
2. Ortogonais: o produto escalar é zero,
ucdotv=u1v1+u2v2+u3v3=0
Se nenhum teste for satisfeito, são “nem paralelos nem ortogonais”.

Passo 3

Caso I: u=(4,0,6), v=(3,1,-2).
Calculamos o produto escalar:
ucdotv=4cdot3+0cdot1+6cdot(-2)=12-12=0
Como ucdotv=0, os vetores são ortogonais. Logo, I to B.

Passo 4

Caso II: u=(2,1,-1), v=(-4,-2,2).
Observamos que
(-4,-2,2)=-2,(2,1,-1),
ou seja, v=-2,u. Portanto são paralelos. Logo, II to A.

Passo 5

Caso III: u=(12,8,0), v=(8,6,0).
Verificamos a razão entre componentes:
128=1,5 e 86approx1,333neq1,5,
logo não são múltiplos entre si. O produto escalar é
12cdot8+8cdot6+0cdot0=96+48=144neq0,
então não são ortogonais. Logo, III to C.

Passo 6

Caso IV: u=(-1,0,3), v=(-3,0,1).
As razões das componentes não coincidem e
(-1)cdot(-3)+0cdot0+3cdot1=3+3=6neq0,
portanto não são paralelos nem ortogonais. Logo, IV to C.

Passo 7

Caso V: u=(1,1,-1), v=(1,-2,-1).
Calculamos
ucdotv=1cdot1+1cdot(-2)+(-1)cdot(-1)=1-2+1=0
Como o produto escalar é zero, são ortogonais. Logo, V to B.

Resposta

I to B
II to A
III to C
IV to C
V to B

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