Até que ponto deve-se prolongar o segmento de extremos A(2,0,0) e B(0,2,0), no sentic de A para B, de modo que seu comprimento quadruplique?

Passo 1

O enunciado nos dá os pontos A(2,0,0) e B(0,2,0) em R^3 e pede para prolongar o segmento AB no sentido de A para B de modo que o novo comprimento seja quatro vezes o original. O conteúdo envolve geometria vetorial: vetor diretor, equação paramétrica de reta e cálculo de distância.

Passo 2

Vamos achar o vetor diretor AB e seu comprimento.
AB = B - A = (0-2,;2-0,;0-0) = (-2,,2,,0)
|AB| = raiz(-2)^2 + 2^2 + 0^2 = raiz4 + 4 = 2raiz2

Passo 3

A reta que passa por A e vai na direção de B admite a forma paramétrica
P(t) = A + t,AB = (2,0,0) + t,(-2,2,0) = l(2-2t,;2t,;0r),
onde t=1 dá o ponto B.

Passo 4

Queremos que o comprimento de AP(t) seja quatro vezes |AB|, ou seja
|P(t)-A| = 4,|AB| Longrightarrow t,|AB| = 4,|AB| Longrightarrow t = 4

Passo 5

Substituindo t=4 na equação paramétrica, obtemos
P(4) = l(2-2cdot4,;2cdot4,;0r) = (-6,;8,;0)
Esse é o ponto até onde devemos prolongar para que o novo segmento AP tenha comprimento 4|AB|.

Resposta

O ponto procurado é (-6,,8,,0).

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