Para cada conjunto de matrizes quadradas abaixo, determine se elas sempre tem inversa, nunca tem inversa, ou se podem ou não ter inversa.
e) Todas as matrizes onde mais da metade dos elementos é composta de diferentes números primos.

Passo 1

O enunciado pede para o conjunto
“todas as matrizes quadradas em que mais da metade dos elementos é composta por números primos diferentes”
ser classificado em uma das três possibilidades:
1. sempre invertível,
2. nunca invertível,
3. pode ou não ser invertível.
Para decidir isso, vamos usar a noção de determinante: uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for não nulo.

Passo 2

Repare que exigir que mais da metade dos n^2 elementos sejam primos distintos apenas nos dá informação sobre os valores individuais das entradas, mas não garante nada sobre dependência ou independência linear das linhas (ou colunas). O determinante pode ser zero mesmo com entradas “bonitas” como números primos. Logo, em princípio, esse critério não impõe determinante sempre diferente de zero nem sempre igual a zero.

Passo 3

Para mostrar que pode ser invertível, basta um exemplo simples em ordem 2.
Considere
A = 2 & 3 5 & 7
Aqui temos 4 entradas, mais da metade disso é >2, e de fato as 4 são números primos distintos. O determinante é
det(A)=2cdot7 - 3cdot5 = 14 - 15 = -1 neq 0,
logo A é invertível.

Passo 4

Para mostrar que pode não ser invertível, construa um exemplo em ordem 3. Em uma matriz 3times3 9 entradas, mais da metade é >4,5, ou seja, pelo menos 5 entradas devem ser primos distintos. Pegue os dois primeiros ramos cheios de primos e faça a terceira linha ser combinação linear das duas primeiras, garantindo determinante zero:
B = 2 & 3 & 5 7 & 11 & 13 2+7 & 3+11 & 5+13 = 2 & 3 & 5 7 & 11 & 13 9 & 14 & 18
Nas duas primeiras linhas temos 6 primos distintos (mais que os 5 necessários), e a terceira linha é a soma das duas primeiras, então
det(B)=0
e B é singular.

Passo 5

Como já encontramos exemplo invertível e exemplo singular, concluímos que o conjunto em (e) pode ou não ter inversa.

Resposta

Podem ou não ter inversa.

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