Para cada conjunto de matrizes quadradas abaixo, determine se elas sempre tem inversa, nunca tem inversa, ou se podem ou não ter inversa.
f) Todas as matrizes , com par, onde a diagonal principal e a diagonal secundária não tem elementos em comum.
Passo 1
O enunciado pede para a gente analisar o conjunto
de todas as matrizes , com par, tais que os elementos da diagonal principal e os da diagonal secundária formam dois conjuntos sem nenhum valor em comum.
Queremos saber se toda matriz desse tipo é necessariamente invertível, se nenhuma é invertível,
ou se há casos de ambos.
Passo 2
Vamos entender a condição sobre as diagonais.
Para uma matriz de ordem :
– a diagonal principal é ,
– a diagonal secundária é .
A hipótese é que
Passo 3
Observe que, quando é par, não existe índice tal que , pois isso exigiria com ímpar.
Logo, as posições da diagonal principal e da secundária são sempre distintas,
e a condição “não têm elementos em comum” recai apenas sobre os valores numéricos ali colocados,
mas não impõe nenhum vínculo linear que force o determinante a ser zero ou não.
Passo 4
Basta então dar um exemplo de matriz singular e um de matriz inversível, cada uma satisfazendo a condição.
Exemplo singular ():
aqui a diagonal principal é 2,6, a secundária é 3,4, sem interseção,
mas det(A)=2cdot6 - 3cdot4 = 0.
Exemplo inversível (detneq0):
B= 1 & 2 3 & 4 ,
com diagonal principal 1,4, secundária 2,3, sem interseção,
e det(B)=1cdot4-2cdot3=-2neq0.
Resposta
Podem ou não ter inversa.
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Jerônimo c. Pellegrini - Álgebra Linear - 130ª Edição - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 90.f