Para cada conjunto de matrizes quadradas abaixo, determine se elas sempre tem inversa, nunca tem inversa, ou se podem ou não ter inversa.
f) Todas as matrizes n times n, com n par, onde a diagonal principal e a diagonal secundária não tem elementos em comum.

Passo 1

O enunciado pede para a gente analisar o conjunto
de todas as matrizes ntimes n, com n par, tais que os elementos da diagonal principal
a11,a22,dots,ann e os da diagonal secundária
a1n,a2,n-1,dots,an1 formam dois conjuntos sem nenhum valor em comum.
Queremos saber se toda matriz desse tipo é necessariamente invertível, se nenhuma é invertível,
ou se há casos de ambos.

Passo 2

Vamos entender a condição sobre as diagonais.
Para uma matriz A=(aij) de ordem n:
– a diagonal principal é aiimid i=1,dots,n,
– a diagonal secundária é ai,n+1-imid i=1,dots,n.
A hipótese é que
aiii=1^n;cap;ai,n+1-ii=1^n ;=;varnothing

Passo 3

Observe que, quando n é par, não existe índice i tal que
i = n+1-i, pois isso exigiria 2i = n+1 com n+1 ímpar.
Logo, as posições da diagonal principal e da secundária são sempre distintas,
e a condição “não têm elementos em comum” recai apenas sobre os valores numéricos ali colocados,
mas não impõe nenhum vínculo linear que force o determinante a ser zero ou não.

Passo 4

Basta então dar um exemplo de matriz singular e um de matriz inversível, cada uma satisfazendo a condição.
Exemplo singular ( det=0):
A= 2 & 3 4 & 6 ,
aqui a diagonal principal é 2,6, a secundária é 3,4, sem interseção,
mas det(A)=2cdot6 - 3cdot4 = 0.
Exemplo inversível ( detneq0):
B= 1 & 2 3 & 4 ,
com diagonal principal 1,4, secundária 2,3, sem interseção,
e det(B)=1cdot4-2cdot3=-2neq0.

Resposta

Podem ou não ter inversa.

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