Para cada conjunto de matrizes quadradas abaixo, determine se elas sempre tem inversa, nunca tem inversa, ou se podem ou não ter inversa.
h) Todas as matrizes cuja diagonal só contém uns.
Passo 1
O enunciado pede para classificar o conjunto de todas as matrizes quadradas que satisfazem para todo . Precisamos decidir se esse conjunto contém apenas matrizes invertíveis, apenas matrizes não invertíveis, ou se há casos de ambos os tipos.
Passo 2
Lembramos que uma matriz é invertível se e somente se . O fato de todos os elementos da diagonal principal serem iguais a 1 não impõe nenhuma restrição direta sobre o valor de , pois os elementos fora da diagonal podem alterar o determinante arbitrariamente.
Passo 3
Mostramos que existem matrizes desse tipo que não são invertíveis. Por exemplo, para considere
Calculamos
det(A) = 1cdot 1 - 1cdot 1 = 0,
logo A é singular (não tem inversa).
Passo 4
Mostramos que também existem matrizes desse tipo que são invertíveis. Basta tomar a matriz identidade de ordem n,
em que todos os aii=1 e det(In)=1neq 0. Portanto In é invertível.
Passo 5
Como já existem exemplos com det=0 e exemplos com detneq 0, concluímos que o conjunto pode conter matrizes invertíveis e também matrizes não invertíveis.
Resposta
Podem ou não ter inversa.
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Jerônimo c. Pellegrini - Álgebra Linear - 130ª Edição - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 90.h