Para cada conjunto de matrizes quadradas abaixo, determine se elas sempre tem inversa, nunca tem inversa, ou se podem ou não ter inversa.
i) Todas as matrizes cujos elementos são os inteiros , em qualquer ordem.
Passo 1
O enunciado nos pede para analisar o conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem cujos elementos são precisamente os inteiros
em qualquer ordem, e decidir se essas matrizes são sempre invertíveis, nunca invertíveis ou se em geral podem tanto ser invertíveis quanto singulares. Vamos estudar casos baixos de e depois o caso geral.
Passo 2
Caso e :
– Para a única matriz é , cujo determinante é . Logo é invertível.
– Para seja
com . O determinante é
Se tivéssemos , como todos os valores em são distintos, não há como escolher pares e distintos em de modo que o produto seja igual (qualquer igualdade exigiria repetição de elemento). Logo sempre, e toda matriz assim é invertível.
Passo 3
Caso , mostraremos que singulares e invertíveis aparecem:
() exemplo de matriz singular para :
Esta é a matriz de exemplo clássica cujo determinante é zero, pois as linhas são colineares (linha 3= linha 1+2cdotlinha 2 deslocada), e de fato
det(M)=0
Passo 4
Também para n=3 podemos encontrar matriz que seja invertível. Por exemplo,
Para n=1 e n=2 todas as matrizes com entradas 1,2,dots,n^2 em qualquer ordem são sempre invertíveis.
Para n>=3 há exemplos cuja determinante é zero e exemplos com determinante não nulo, isto é, nesse caso podem ou não ter inversa.
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Jerônimo c. Pellegrini - Álgebra Linear - 130ª Edição - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 90.i