Para cada conjunto de matrizes quadradas abaixo, determine se elas sempre tem inversa, nunca tem inversa, ou se podem ou não ter inversa.
i) Todas as matrizes n times n cujos elementos são os inteiros 1,2, ldots, n^2, em qualquer ordem.

Passo 1

O enunciado nos pede para analisar o conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem n cujos n^2 elementos são precisamente os inteiros
1,2,dots,n^2
em qualquer ordem, e decidir se essas matrizes são sempre invertíveis, nunca invertíveis ou se em geral podem tanto ser invertíveis quanto singulares. Vamos estudar casos baixos de n e depois o caso geral.

Passo 2

Caso n=1 e n=2:
– Para n=1 a única matriz é l[1r], cujo determinante é 1neq0. Logo é invertível.
– Para n=2 seja
A = a & b c & d ,
com a,b,c,d=1,2,3,4. O determinante é
det(A)=ad - bc
Se tivéssemos ad=bc, como todos os valores em a,b,c,d são distintos, não há como escolher pares (a,d) e (b,c) distintos em 1,2,3,4 de modo que o produto seja igual (qualquer igualdade exigiria repetição de elemento). Logo ad-bcneq0 sempre, e toda matriz assim é invertível.

Passo 3

Caso n>=3, mostraremos que singulares e invertíveis aparecem:
( 1) exemplo de matriz singular para n=3:
M = 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9
Esta é a matriz de exemplo clássica cujo determinante é zero, pois as linhas são colineares (linha 3= linha 1+2cdotlinha 2 deslocada), e de fato
det(M)=0

Passo 4

Também para n=3 podemos encontrar matriz que seja invertível. Por exemplo,
N = 1 & 2 & 4 3 & 5 & 6 7 & 8 & 9
Calculando o determinante por cofactores,
det(N) =1,(5cdot9 - 6cdot8);-;2,(3cdot9 - 6cdot7);+;4,(3cdot8 - 5cdot7) =-3 ;-;2(-15);+;4(-11) =-3 +30 -44 =-17neq0
Portanto N é invertível.

Resposta

Para n=1 e n=2 todas as matrizes com entradas 1,2,dots,n^2 em qualquer ordem são sempre invertíveis.
Para n>=3 há exemplos cuja determinante é zero e exemplos com determinante não nulo, isto é, nesse caso podem ou não ter inversa.

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