Em cada parte, encontre os valores máximo e mínimo da forma quadrática sujeita ao vínculo x1^2+x2^2+x3^2=1 e determine os valores de x1, x2 e x3 nos quais ocorrem os máximos e mínimos.
(b) 2 x1^2+x2^2+x3^2+2 x1 x3+2 x1 x2

Passo 1

O enunciado pede para maximizar e minimizar a forma quadrática
Q(x)=2x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x1x3
sujeita ao vínculo ,x1^2+x2^2+x3^2=1. Isso equivale a estudar os valores próprios da matriz simétrica associada a Q, pois em restrição à esfera unitária os extremos de Q são exatamente os autovalores de A.

Passo 2

Vamos escrever a matriz A tal que Q(x)=x^TAx. Os coeficientes mistos 2x1x2 e 2x1x3 aparecem no semiespaço de A, de modo que
A = 2 & 1 & 1 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1

Passo 3

Calculamos o polinômio característico det(A-lambda I)=0.
detl(A-lambda Ir) = 2-lambda & 1 & 1 1 & 1-lambda & 0 1 & 0 & 1-lambda =(1-lambda)l[(2-lambda)(1-lambda)-2r] =lambda(lambda-3)(1-lambda)
Logo os autovalores são lambda1=0, lambda2=1 e lambda3=3.

Passo 4

Em otimização de forma quadrática na esfera unitária, o mínimo de Q vale o menor autovalor e o máximo vale o maior autovalor. Portanto
min Q = 0, max Q = 3

Passo 5

Autovetor associado a lambda3=3: resolvendo (A-3I)x=0 obtemos o sistema
-x1+x2+x3=0, x1-2x2=0, x1-2x3=0,
que dá x2=x3 e x1=2x2. Um representante é (2,1,1). Normalizando para a esfera,
| (2,1,1)| = raiz6, xmax = 1raiz6(2,1,1)

Passo 6

Autovetor associado a lambda1=0: resolvendo Ax=0 obtemos
2x1+x2+x3=0, x1+x2=0, x1+x3=0,
que dá x2=x3=-x1. Um representante é (1,-1,-1). Normalizando,
| (1,-1,-1)| = raiz3, xmin = 1raiz3(1,-1,-1)

Resposta

O valor máximo de Q é 3, obtido em
x = pm1raiz6(2,1,1)
O valor mínimo de Q é 0, obtido em
x = pm1raiz3(1,-1,-1)

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