Exprime as seguintes formas quadráticas na notação matricial mathbfx^T A x, onde A é uma matriz simétrica.
(e) x1^2+x2^2-x3^2-x4^2+2 x1 x2-10 x1 x4+4 x3 x4

Passo 1

O enunciado pede expressar a forma quadrática
x1^2+x2^2-x3^2-x4^2+2,x1x2-10,x1x4+4,x3x4
na notação x^TAx, onde x=(x1,x2,x3,x4)^T e A deve ser simétrica.

Passo 2

Identificamos os coeficientes dos termos quadrados para obter as entradas diagonais de A:
x1^2to A11=1, x2^2to A22=1, x3^2to A33=-1, x4^2to A44=-1

Passo 3

Agora extraímos os termos mistos e distribuímos igualmente entre Aij e Aji:
2,x1x2to A12+A21=2implies A12=A21=1,
-10,x1x4to A14+A41=-10implies A14=A41=-5,
4,x3x4to A34+A43=4implies A34=A43=2
Todos os demais Aij com ineq j são zero.

Passo 4

Montamos a matriz simétrica A:
A = 1 & 1 & 0 & -5 1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 2 -5 & 0 & 2 & -1

Resposta

x1^2+x2^2-x3^2-x4^2+2,x1x2-10,x1x4+4,x3x4 = x^T 1 & 1 & 0 & -5 1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 2 -5 & 0 & 2 & -1 x

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