Calcular alpha e beta de modo que as circunferências
x^2+y^2-4 alpha x+8 y-1=0 e x^2+y^2+8 x-(beta-4) y=0
sejam concêntricas (isto é, tenham centros coincidentes).

Passo 1

O enunciado pede alpha e beta tais que as circunferências
x^2+y^2-4alpha x+8y-1=0
e
x^2+y^2+8x-(beta-4)y=0
sejam concêntricas. Para isso, usamos o fato de que a circunferência
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0
tem centro em l(-tfracD2,-tfracE2r).

Passo 2

Na primeira circunferência temos D1=-4alpha e E1=8. Logo o centro é
l(-tfracD12,-tfracE12r) =l(-tfrac-4alpha2,-tfrac82r) =(2alpha,,-4)

Passo 3

Na segunda circunferência temos D2=8 e E2=-(beta-4). Assim o centro é
l(-tfracD22,-tfracE22r) =l(-tfrac82,-tfrac-(beta-4)2r) =(-4,;tfracbeta-42)

Passo 4

Para serem concêntricas, igualamos as coordenadas dos centros:
2alpha = -4 e -4 = beta-42
Da primeira equação vem alpha=-2. Da segunda,
beta-4=-8 Longrightarrow beta=-4

Resposta

alpha=-2
beta=-4

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