Calcule a fatoração L U de cada uma das seguintes matrizes:
(rrr1 & 1 & 1 3 & 5 & 6 -2 & 2 & 7)

Passo 1

O enunciado pede a fatoração LU da matriz
A = 1 & 1 & 1 [6pt] 3 & 5 & 6 [6pt] -2 & 2 & 7
O objetivo é escrever A = LU, onde L é triangular inferior com 1 na diagonal e U é triangular superior. Vamos usar eliminação de Gauss sem pivoteamento e guardar os multiplicadores em L.]

Passo 2

Para zerar os elementos abaixo de a11=1, calculamos os multiplicadores
l21 = 31 = 3, l31 = -21 = -2
Subtraindo 3 vezes a primeira linha da segunda e -2 vezes a primeira linha da terceira, obtemos a matriz intermediária
1 & 1 & 1 [3pt] 0 & 2 & 3 [3pt] 0 & 4 & 9 ]

Passo 3

Agora zeramos o elemento abaixo de u22=2. O multiplicador é
l32 = 42 = 2
Subtraindo 2 vezes a segunda linha da matriz anterior da terceira linha, chegamos à forma triangular superior
U = 1 & 1 & 1 [3pt] 0 & 2 & 3 [3pt] 0 & 0 & 3 ]

Passo 4

A matriz L reúne os multiplicadores usados em cada etapa, com 1 na diagonal principal:
L = 1 & 0 & 0 [3pt] 3 & 1 & 0 [3pt] -2 & 2 & 1
Verifique que
L,U = 1 & 0 & 0 [3pt] 3 & 1 & 0 [3pt] -2 & 2 & 1 1 & 1 & 1 [3pt] 0 & 2 & 3 [3pt] 0 & 0 & 3 = 1 & 1 & 1 [3pt] 3 & 5 & 6 [3pt] -2 & 2 & 7 = A ]

Resposta

L = 1 & 0 & 0 [3pt] 3 & 1 & 0 [3pt] -2 & 2 & 1 , U = 1 & 1 & 1 [3pt] 0 & 2 & 3 [3pt] 0 & 0 & 3 ]

Exercícios de Livros Relacionados