Seja
A=(ll 2 & 1 6 & 4 )
(a) Expresse A como um produto de matrizes elementares.
(b) Expresse A^-1 como um produto de matrizes elementares.

Passo 1

O enunciado pede expressar a matriz
A = 2 & 1 6 & 4
como produto de matrizes elementares (parte a) e em seguida usar essas matrizes para escrever
A^-1
como produto de matrizes elementares (parte b). O conteúdo é de operações elementares de linha e as matrizes elementares correspondentes.

Passo 2

Para chegar em A a partir da identidade I2, use as seguintes operações elementares de linha:
1 multiplicar a linha 1 por 2,
2 somar a linha 2 à linha 1,
3 somar 3 vezes a linha 1 à linha 2.
Cada uma gera uma matriz elementar:
E1 = 2 & 0 0 & 1, E2 = 1 & 1 0 & 1, E3 = 1 & 0 3 & 1

Passo 3

Agora verificamos o produto:
E2,E1 = 1 & 10 & 1 2 & 00 & 1 = 2 & 10 & 1,
E3,(E2E1) = 1 & 03 & 1 2 & 10 & 1 = 2 & 16 & 4 = A
Logo,
boxedA = E3,E2,E1

Passo 4

Para a parte (b), note que
A^-1 = (E3,E2,E1)^-1 = E1^-1,E2^-1,E3^-1
As inversas são dadas por inverter cada operação:
E1^-1 = tfrac12 & 00 & 1, E2^-1 = 1 & -10 & 1, E3^-1 = 1 & 0-3 & 1
Portanto,
boxedA^-1 = E1^-1,E2^-1,E3^-1

Resposta

(a) ;A = E3,E2,E1 com
E1 = 2 & 00 & 1,; E2 = 1 & 10 & 1,; E3 = 1 & 03 & 1
(b) ;A^-1 = E1^-1,E2^-1,E3^-1 com
E1^-1 = tfrac12 & 00 & 1,; E2^-1 = 1 & -10 & 1,; E3^-1 = 1 & 0-3 & 1

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