Calcule \int x^{2} \operatorname{senh} x^{3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x^{2}\operatorname{sinh}\bigl(x^{3}\bigr)\,dx
O conteúdo aqui é integração por substituição, pois vemos x^{2} multiplicando \operatorname{sinh}(x^{3}), e a derivada de x^{3} é um múltiplo de x^{2}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{3}, \qquad du = 3x^{2}\,dx.

Passo 3

Isolamos x^{2}\,dx em função de du:
x^{2}\,dx = \frac{du}{3}.
Substituindo na integral, temos
\int x^{2}\operatorname{sinh}\bigl(x^{3}\bigr)\,dx = \int \operatorname{sinh}(u)\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int \operatorname{sinh}(u)\,du.

Passo 4

Sabemos que
\int \operatorname{sinh}(u)\,du = \operatorname{cosh}(u) + C.
Logo,
\frac{1}{3}\int \operatorname{sinh}(u)\,du = \frac{1}{3}\operatorname{cosh}(u) + C.

Passo 5

Voltando à variável x com u = x^{3}, obtemos
\frac{1}{3}\operatorname{cosh}\bigl(x^{3}\bigr) + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\operatorname{cosh}\bigl(x^{3}\bigr) + C

Exercícios de Livros Relacionados